Homogenisation of vectorial free-discontinuity functionals with cohesive type surface terms

Technische Zusammenfassung: Homogenisierung von vektoriellen freien Diskontinuitätsfunktionalen mit kohäsiven Oberflächentermen

Problemstellung
Diese Arbeit befasst sich mit dem asymptotischen Verhalten von Sequenzen freier Diskontinuitätsfunktionale im vektorwertigen Fall ($k \geq 1$). Insbesondere wird die $\Gamma$-Konvergenz von Funktionalen untersucht, die auf dem Raum $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$ definiert sind, welcher den Raum der Funktionen mit beschränkter Variation ($BV$) verallgemeinert, um Funktionen mit unbeschränkten Werten bei kontrolliertem Wachstum zu berücksichten. Die untersuchten Funktionale haben die Form:
$$E(u, A) = \int_A f(x, \nabla u) \, dx + \int_A f^\infty\left(x, \frac{dD^c u}{d|D^c u|}\right) \, d|D^c u| + \int_{J_u \cap A} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
wobei $f$ und $g$ lineare Wachstumsbedingungen erfüllen, die typisch für kohäsive Bruchmodelle sind. Im Gegensatz zu früheren Arbeiten, die oft superlineares Wachstum voraussetzten (was eine Kompaktheit in $SBV$ ermöglichte) oder den skalaren Fall betrachteten, befasst sich diese Arbeit mit dem vektorwertigen Fall, in dem der Oberflächenterm $g$ eine „kohäsive“ Wachstumsbedingung erfüllt: $c(|\zeta| \wedge 1) \leq g(x, \zeta, \nu) \leq C(|\zeta| \wedge 1)$. Diese Bedingung verhindert die Kontrolle der totalen Variation des Gradienten entlang minimierender Sequenzen, was die Verwendung des größeren Raums $GBV^*$ erforderlich macht.

Methodik
Die Autoren erweitern die Techniken, die sie in ihren vorangegangenen skalaren Arbeiten [20, 21] entwickelt haben, auf den vektorwertigen Fall und überwinden dabei signifikante technische Hürden im Zusammenhang mit der Trunkierung.

1. Funktionsraum und Trunkierung: Die Untersuchung wird innerhalb von $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$ durchgeführt. Eine zentrale Schwierigkeit im vektorwertigen Fall ist, dass Standard-komponentenweise Trunkierungen der Form $u^{(m)} = (u \wedge m) \vee (-m)$ nicht die notwendigen Abschätzungen für die Funktionale liefern. Stattdessen verwenden die Autoren glatte Trunkierungen der Form $\psi_m^i \circ u$, wobei $\psi_m^i$ spezifische glatte Abschneidefunktionen sind. Entscheidend ist, dass sie das Funktional nicht für jedes $i \in \{1, \dots, m\}$ gleichzeitig abschätzen können; sie müssen einen geeigneten Index $i$ wählen, der von der Sequenz und der Funktion abhängt, um gültige Schranken zu erhalten. Dies erfordert eine Modifikation des abstrakten Rahmens, der im skalaren Fall verwendet wurde.

2. Abstrakter Rahmen ($\mathcal{E}$): Die Autoren definieren eine abstrakte Klasse von Funktionalen $\mathcal{E}$ auf $L^0(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}^k) \times \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$. Sie beweisen ein Kompaktheitstheorem (Theorem 4.1), das zeigt, dass jede Sequenz in $\mathcal{E}$ eine $\Gamma$-konvergente Teilsequenz besitzt.

3. Integraldarstellung:

   • Partielle Darstellung: Für die Unterklasse der halbkontinuierlichen Funktionale $\mathcal{E}_{sc}$ stellen sie eine Integraldarstellung für den absolut stetigen Teil ($E_a$) und den Sprungteil ($E_j$) in Abhängigkeit von den Integranden $f$ und $g$ her (Theorem 5.16).
   • Vollständige Darstellung: Um den Cantor-Teil ($E_c$) darzustellen, führen sie kleinere Sammlungen von Integranden $\mathcal{F}_\alpha$ und $\mathcal{G}_\vartheta$ mit spezifischen quantitativen Abschätzungen gegen Unendlich und gegen Null ein. Unter der Annahme, dass der Bulk-Integrand $f$ unabhängig von $x$ ist, beweisen sie, dass das $\Gamma$-Limit eine vollständige Integraldarstellung einschließlich des Cantor-Terms besitzt (Theorem 7.1).

4. Homogenisierung:

   • Deterministisch: Sie leiten notwendige und hinreichende Bedingungen für die $\Gamma$-Konvergenz von Sequenzen mit oszillierenden Koeffizienten $f(x/\varepsilon_n, \cdot)$ und $g(x/\varepsilon_n, \cdot)$ ab. Die homogenisierten Integranden werden als Grenzwerte von Minima Hilfsminimierungsprobleme auf großen Würfeln charakterisiert.
   • Stochastisch: Sie wenden diese Ergebnisse auf den stochastischen Fall an, in dem $f$ und $g$ Zufallsfelder sind, die Stationarität und Ergodizität erfüllen. Durch Anwendung des Subadditiven Ergodensatzes beweisen sie, dass das $\Gamma$-Limit fast sicher existiert und deterministisch ist (unabhängig von der Realisierung $\omega$), sofern die zugrunde liegende Transformationsgruppe ergodisch ist.

Wesentliche Beiträge und Ergebnisse

• Erweiterung auf vektorwertige Funktionen: Der primäre Beitrag ist die Erweiterung der Homogenisierungstheorie für kohäsive freie Diskontinuitätsfunktionale vom skalaren Fall ($k=1$) auf den vektorwertigen Fall ($k \geq 1$).
• Technische Innovation in der Trunkierung: Die Arbeit führt eine verfeinerte Trunkierungstechnik unter Verwendung glatter Kompositionen $\psi_m^i \circ u$ ein und beweist, dass für jede Sequenz von Funktionalen ein „guter“ Index $i$ (abhängig von $n, m, u$) existiert, der die Energieabschätzungen bewahrt. Dies löst das Haupthindernis bei der Verallgemeinerung skalare Ergebnisse auf den vektorwertigen Fall.
• Integraldarstellung in $GBV^*$: Die Autoren liefern eine vollständige Integraldarstellung des $\Gamma$-Limits von Sequenzen von Funktionalen mit linearem Wachstum und kohäsiven Oberflächentermen, wobei den Bulk-, Oberflächen- und Cantor-Teil explizit charakterisieren.
• Stochastische Homogenisierung: Die Arbeit etabliert ein fast sicheres $\Gamma$-Konvergenzergebnis für stochastische freie Diskontinuitätsfunktionale mit kohäsiven Oberflächentermen und beweist, dass die homogenisierte Energiedichte unter Ergodizitätsannahmen deterministisch ist.

Bedeutung und Ansprüche
Die Autoren positionieren diese Arbeit als „vorläufigen Schritt“ zum Verständnis des asymptotischen Verhaltens von Risswachstum in heterogenen kohäsiven Materialien, wenn die Korngröße gegen Null geht. Sie geben explizit an, dass ihre Ergebnisse eine vollständige Antwort auf den ersten Teil des Programms für ratenunabhängige Probleme liefern: die $\Gamma$-Konvergenz der Energie-Dissipations-Funktionale.

Die Arbeit räumt ein, dass die Konstruktion einer „gemeinsamen Recovery-Sequenz“, die zur Beweisbarkeit der Konvergenz quasi-statischer Entwicklungen (der zweite Teil des Programms) erforderlich ist, hier nicht behandelt wird. Die Ergebnisse sind als rigoroser mathematischer Fundament für die Homogenisierung in dieser spezifischen Klasse nichtlinearer, vektorwertiger freier Diskontinuitätsprobleme gerahmt, basierend auf den skalaren Grundlagen aus [20, 21] und den Arbeiten zu superlinearem Wachstum im vektorwertigen periodischen/stochastischen Fall [12, 13, 14, 15]. Die Arbeit stützt sich stark auf die strukturellen Eigenschaften von $GBV^*$ und die spezifischen Wachstumsbedingungen kohäsiver Modelle, was sie von der klassischen Homogenisierung in $SBV$ oder $BD$ unterscheidet.