Homogenisation of vectorial free-discontinuity functionals with cohesive type surface terms

技術要約：凝集型表面項を伴うベクトル値自由不連続汎関数の均質化

問題設定
本論文は、ベクトル値の設定（$k \geq 1$）における自由不連続汎関数の漸近挙動を扱う。具体的には、$GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$ という、関数が非有界な値を取り得るものの成長が制御されている空間（$BV$関数の一般化）上で定義された汎関数の$\Gamma$-収束を調査する。対象となる汎関数は以下の形式をとる：
$$E(u, A) = \int_A f(x, \nabla u) \, dx + \int_A f^\infty\left(x, \frac{dD^c u}{d|D^c u|}\right) \, d|D^c u| + \int_{J_u \cap A} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
ここで、$f$ および $g$ は凝集型破壊モデルに典型的な線形成長条件を満たす。超線形成長（$SBV$におけるコンパクト性を可能にする）を仮定することが多かったこれまでの研究とは異なり、本研究では、表面項$g$が「凝集型」の成長条件$c(|\zeta| \wedge 1) \leq g(x, \zeta, \nu) \leq C(|\zeta| \wedge 1)$を満たすベクトル値の場合を扱う。この条件は、最小化列における勾配の全変動の制御を困難にするため、$より大きな空間である $GBV^*$ の使用を必要とする。

手法
著者らは、ベクトル値の設定へと、先行するスカラー値の研究 [20, 21] で開発された手法を拡張し、切り捨て（truncation）に関する重大な技術的障壁を克服している。

1. 関数空間と切り捨て: 研究は $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$ 内で行われる。中心的な困難は、ベクトル値の場合、標準的な成分ごとの切り捨て $u^{(m)} = (u \wedge m) \vee (-m)$ では汎関数の必要な評価が得られないことである。代わりに、著者らは $\psi_m^i \circ u$ という特定の滑らかなカットオフ関数を用いた滑らかな切り捨てを用いる。決定的なのは、すべての $i \in \{1, \dots, m\}$ に対して汎関数を評価することはできず、有効な境界を得るためには、系列と関数に依存して適切なインデックス $i$ を選択しなければならない点である。これには、スカラーの場合に使用された抽象的な枠組みの修正が必要となる。

2. 抽象的枠組み ($\mathcal{E}$): 著者らは、$L^0(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}^k) \times \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ 上の汎関数の抽象的なクラス $\mathcal{E}$ を定義する。彼らは、$\mathcal{E}$ に属する任意の系列が $\Gamma$-収束する部分列を持つことを示すコンパクト性定理（定理 4.1）を証明する。

3. 積分表示:

   • 部分的表示: 下半連続な部分類 $\mathcal{E}_{sc}$ に属する汎関数について、被積分関数 $f$ および $g$ を用いた絶対連続部分（$E_a$）およびジャンプ部分（$E_j$）の積分表示を確立する（定理 5.16）。
   • 完全な表示: カントール部分（$E_c$）を表現するために、無限遠およびゼロ付近での特定の定量的評価を持つ、より小さな被積分関数の集合 $\mathcal{F}_\alpha$ および $\mathcal{G}_\vartheta$ を導入する。バルクの被積分関数 $f$ が $x$ に依存しないという仮定の下で、カントール項を含む完全な積分表示を持つ $\Gamma$-極限が存在することを証明する（定理 7.1）。

4. 均質化:

   • 決定論的: 振動する係数 $f(x/\varepsilon_n, \cdot)$ および $g(x/\varepsilon_n, \cdot)$ を持つ系列の $\Gamma$-収束に関する必要十分条件を導出する。均質化された被積分関数は、大きな立方体上の補助的な最小化問題の極限として特徴付けられる。
   • 確率論的: これらの結果を、定常性とエルゴード性を満たすランダム場 $f$ および $g$ を持つ確率論的な設定に適用する。劣加法的エルゴード定理を利用することで、基礎となる変換群がエルゴード的であれば、$\Gamma$-極限がほとんど至る所（almost surely）存在し、かつ決定論的（実現 $\omega$ に依存しない）であることを証明する。

主要な貢献と結果

• ベクトル値関数への拡張: 本研究の主要な貢献は、凝集型自由不 discontinuity 汎関数の均質化理論を、スカラーケース（$k=1$）からベクトル値ケース（$k \geq 1$）へと拡張したことである。
• 切り捨てにおける技術的革新: 本論文は、滑らかな合成 $\psi_m^i \circ u$ を用いた洗練された切り捨て手法を導入し、任意の系列の汎関数に対して、エネルギー評価を維持できる「優れた」インデックス $i$（$n, m, u$ に依存する）が存在することを証明している。これにより、ベクトル値の設定におけるスカラー結果の一般化における主要な障害が解決された。
• $GBV^*$ における積分表示: 著者らは、線形成長と凝集型表面項を持つ系列の $\Gamma$-極限の完全な積分表示を提供し、バルク、表面、およびカントール部分を明示的に特徴付けている。
• 確率論的均質化: 著者らは、凝集型表面項を持つ確率論的自由不連続汎関数のほとんど至る所での $\Gamma$-収束の結果を確立し、エルゴード性の仮定の下で、均質化されたエネルギー密度が決定論的であることを証明した。

意義と主張
著者らは、本研究を、結晶粒径がゼロに近づく際の不均質な凝集材料における亀裂進展の漸近挙動を理解するための「予備的なステップ」として位置づけている。彼らは、自らの結果が、レート独立問題の第1部（エネルギー散逸汎関数の $\Gamma$-収束）に対する完全な回答を提供すると明言している。

本論文は、準静的な進化の収束を証明するために必要な「結合回復系列（joint recovery sequence）」の構成については扱っていないことを認めている。結果は、$[20, 21]$ で築かれたスカラーの基礎、および超線形成長に関するベクトル値の周期・確率的解析 $[12, 13, 14, 15]$ に基づき、この特定のクラスの非線形ベクトル値自由不連続問題における均質化のための厳密な数学的基礎として構成されている。本研究は、$GBV^*$ の構造的特性と凝集モデルの特定の成長条件に強く依拠しており、これは古典的な $SBV$や$BD$ における均質化とは一線を画すものである。