Homogenisation of vectorial free-discontinuity functionals with cohesive type surface terms

기술 요약: 응집형 표면 항을 갖는 벡터형 자유 불연속 범함수의 균질화

문제 정의
본 논문은 벡터값 설정($k \geq 1$)에서 자유 불연속 범함수 수열의 점근적 거동을 다룬다. 구체적으로, 유계되지 않은 값을 가질 수 있으나 성장이 제어되는 함수들의 공간인 $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$ 상에서 정의된 범함수의 $\Gamma$-수렴을 조사한다. 연구 대상인 범함수는 다음과 같은 형태를 취한다:
$$E(u, A) = \int_A f(x, \nabla u) \, dx + \int_A f^\infty\left(x, \frac{dD^c u}{d|D^c u|}\right) \, d|D^c u| + \int_{J_u \cap A} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
여기서 $f$와 $g$는 응집형 파괴 모델의 전형적인 선형 성장 조건을 만족한다. 초선형 성장을 가정하여 $SBV$내에서의 컴팩트성을 허용했던 이전 연구들과 달리, 본 연구는 표면 항$g$가 "응집형(cohesive)" 성장 조건인 $c(|\zeta| \wedge 1) \leq g(x, \zeta, \nu) \leq C(|\zeta| \wedge 1)$를 만족하는 벡터값 사례를 다룬다. 이 조건은 최소화 수열에 따른 기울기의 총 변동(total variation) 제어를 방지하며, 이에 따라 더 큰 공간인 $GBV^*$의 사용을 필연적으로 만든다.

방법론
저자들은 벡터값 설정으로의 확장을 위해 이전의 스칼라 연구[20, 21]에서 개발된 기법들을 확장하며, 이 과정에서 절단(truncation)과 관련된 중대한 기술적 난관들을 극복한다.

1. 함수 공간 및 절단: 연구는 $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$ 내에서 수행된다. 벡터값 사례의 핵심적인 어려움은 표준적인 성분별 절단 $u^{(m)} = (u \wedge m) \vee (-m)$이 범함수에 필요한 추정치를 제공하지 못한다는 점이다. 대신, 저자들은 $\psi_m^i \circ u$ 형태의 매끄러운 절단 함수를 사용한다. 결정적으로, 모든 $i \in \{1, \dots, m\}$에 대해 동시에 범함수를 추정할 수 없으므로, 유효한 경계값을 얻기 위해 수열과 함수에 의존하는 적절한 인덱스 $i$를 선택해야 한다. 이는 스칼라 사례에서 사용된 추상적 프레임워크의 수정을 요구한다.

2. 추상적 프레임워크 ($\mathcal{E}$): 저자들은 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ 상의 $L^0(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}^k)$에 대한 추상적 범함수 클래스 $\mathcal{E}$를 정의한다. 이들은 임의의 $\mathcal{E}$ 내 수열이 $\Gamma$-수렴하는 부분 수열을 가진다는 컴팩트성 정리(정리 4.1)를 증명한다.

3. 적분 표현:

   • 부분 표현: 하반연속 부류 $\mathcal{E}_{sc}$에 속하는 범함수들에 대해, 절대 연속 부분($E_a$)과 점프 부분($E_j$)을 적분 함수 $f$와 $g$로 나타내는 적분 표현을 확립한다(정리 5.16).
   • 전체 표현: 칸토어 부분($E_c$)을 표현하기 위해, 무한대와 0 근처에서 특정한 양적 추정치를 갖는 더 작은 적분 함수 집합 $\mathcal{F}_\alpha$와 $\mathcal{G}_\vartheta$를 도입한다. 벌크 적분 함수 $f$가 $x$에 독립적이라는 가정하에, 저자들은 칸토어 항을 포함하는 전체 적분 표현을 갖는 $\Gamma$-극한을 증명한다(정리 7.1).

4. 균질화:

   • 결정론적: 진동하는 계수를 갖는 수열 $f(x/\varepsilon_n, \cdot)$와 $g(x/\varepsilon_n, \cdot)$의 $\Gamma$-수렴에 대한 필요충분조건을 도출한다. 균질화된 적분 함수는 큰 정육면체 상의 보조 최소화 문제들의 최솟값의 극한으로 특징지어진다.
   • 확률론적: 저자들은 $f$와 $g$가 정상성(stationarity)과 에르고드성(ergodicity)을 만족하는 확률장(random field)인 확률적 설정을 적용한다. 부가적 에르고드 정리(Subadditive Ergodic Theorem)를 활용하여, 기저 변환 그룹이 에르고드적이라면 $\Gamma$-극한이 거의 확실하게(almost surely) 존재하며 결정론적(실현 $\omega$에 독립적)임을 증명한다.

주요 기여 및 결과

• 벡터값 함수로의 확장: 본 연구의 주요 기여는 응집형 자유 불연속 범함수의 균질화 이론을 스칼라 사례($k=1$)에서 벡터값 사례($k \geq 1$)로 확장한 것이다.
• 절단 기술의 혁신: 본 논문은 매끄러운 합성 함수 $\psi_m^i \circ u$를 사용하는 정교한 절단 기법을 도입하며, 임의의 범함수 수열에 대해 에너지 추정치를 보존하는 "좋은" 인덱스 $i$(이는 $n, m, u$에 의존함)가 존재함을 증명한다. 이는 벡터값 설정으로의 일반화 과정에서의 주요 장애물을 해결한다.
• $GBV^*$에서의 적분 표현: 저자들은 선형 성장과 응집형 표면 항을 갖는 수열의 $\Gamma$-극한에 대한 완전한 적분 표현을 제공하며, 벌크, 표면, 칸토어 부분을 명시적으로 특징짓는다.
• 확률적 균질화: 본 논문은 응집형 표면 항을 갖는 확률적 자유 불연속 범함수에 대한 거의 확실한 $\Gamma$-수렴 결과를 확립하며, 에르고드성 가정하에 균질화된 에너지 밀도가 결정론적임을 증명한다.

의의 및 주장
저자들은 본 연구를 입자 크기가 0으로 수렴함에 따라 불균질한 응집 재료 내의 균열 성장의 점근적 거동을 이해하기 위한 "예비 단계"로 규정한다. 저자들은 자신들의 결과가 속도 독립적 문제(rate-independent problems)의 첫 번째 부분, 즉 에너지-소산 범함수의 $\Gamma$-수렴에 대한 프로그램의 완전한 해답을 제공한다고 명시한다.

본 논문은 준정적 진화(quasi-static evolutions)의 수렴(프로그램의 두 번째 부분)을 증명하는 데 필요한 "결합 회복 수열(joint recovery sequence)"의 구축은 다루지 않는다고 밝힌다. 결과들은 [20, 21]에서 구축된 스칼라 토대와 초선형 성장에 관한 벡터값 주기적/확률적 연구[12, 13, 14, 15]를 바탕으로, 이 특정 부류의 비선형 벡터값 자유 불연속 문제에 대한 균질화의 엄밀한 수학적 기초로서 프레임워크를 구성한다. 본 연구는 $SBV$또는$BD$에서의 고전적 균질화와 구별되는$GBV^*$의 구조적 특성과 응집 모델의 특정한 성장 조건에 크게 의존한다.