Homogenisation of vectorial free-discontinuity functionals with cohesive type surface terms

Technische Samenvatting: Homogenisatie van Vectoriële Vrije Discontinuïteitsfunctionalen met Cohesieve Oppervlaktermen

Probleemstelling
Dit artikel behandelt het asymptotische gedrag van sequenties van vrije discontinuïteitsfunctionalen in de vectoriële setting ($k \geq 1$). Specifiek wordt de $\Gamma$-convergentie onderzocht van functionalen gedefinieerd op de ruimte $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$, die de ruimte van functies van begrensde variatie ($BV$) generaliseert om functies met onbegrensde waarden maar gecontroleerde groei te accommoderen. De bestudeerde functionalen hebben de vorm:
$$E(u, A) = \int_A f(x, \nabla u) \, dx + \int_A f^\infty\left(x, \frac{dD^c u}{d|D^c u|}\right) \, d|D^c u| + \int_{J_u \cap A} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
waarbij $f$ en $g$ lineaire groeicondities voldoen die typerend zijn voor cohesieve breukmodellen. In tegenstelling tot eerdere werken, die vaak superlineaire groei aannamen (waardoor compactheid in $SBV$ mogelijk was) of de scalaire setting beschouwden, behandelt dit werk de vectoriële casus waarbij de oppervlakteterm $g$ een "cohesieve" groeiconditie heeft: $c(|\zeta| \wedge 1) \leq g(x, \zeta, \nu) \leq C(|\zeta| \wedge 1)$. Deze conditie voorkomt de controle van de totale variatie van de gradiënt langs minimaliserende sequenties, wat het gebruik van de grotere ruimte $GBV^*$ noodzakelijk maakt.

Methodologie
De auteurs breiden de technieken uit die zij in hun eerdere scalaire werken [20, 21] hebben ontwikkeld naar de vectoriële setting, waarbij zij significante technische hindernissen met betrekking tot afkapping (truncation) overwinnen.

1. Functieruimte en Afkapping: De studie wordt uitgevoerd binnen $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$. Een centrale moeilijkheid in de vectoriële casus is dat standaard componentgewijze afkappingen $u^{(m)} = (u \wedge m) \vee (-m)$ niet de noodzakelijke schattingen voor de functionalen opleveren. In plaats daarvan gebruiken de auteurs gladde afkappingen van de vorm $\psi_m^i \circ u$, waarbij $\psi_m^i$ specifieke gladde afkapfuncties zijn. Cruciaal is dat zij de functionaal niet voor elke $i \in \{1, \dots, m\}$ simultaan kunnen inschatten; zij moeten een geschikte index $i$ selecteren die afhankelijk is van de sequentie en de functie om geldige grenzen te verkrijgen. Dit vereist een modificatie van het abstracte kader dat in de scalaire casus werd gebruikt.

2. Abstract Kader ($\mathcal{E}$): De auteurs definiëren een abstracte klasse van functionalen $\mathcal{E}$ op $L^0(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}^k) \times \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$. Zij bewijzen een compactheidstheorema (Theorem 4.1) dat aantoont dat elke sequentie in $\mathcal{E}$ een $\Gamma$-convergerende subsequentie bezit.

3. Integrale Representatie:

   • Partiële Representatie: Voor functionalen in de lager halfdoelmatige subklasse $\mathcal{E}_{sc}$, stellen zij een integrale representatie vast voor het absoluut continue deel ($E_a$) en het sprongdeel ($E_j$) in termen van integranden $f$ en $g$ (Theorem 5.16).
   • Volledige Representatie: Om de Cantor-term ($E_c$) te representeren, introduceren zij kleinere collecties van integranden $\mathcal{F}_\alpha$ en $\mathcal{G}_\vartheta$ met specifieke kwantitatieve schattingen nabij oneindig en nul. Onder de aanname dat de bulk-integraand $f$ onafhankelijk is van $x$, bewijzen zij dat de $\Gamma$-limiet een volledige integrale representatie toelaat, inclusief de Cantor-term (Theorem 7.1).

4. Homogenisatie:

   • Deterministisch: Zij leiden noodzakelijke en voldoende voorwaarden af voor de $\Gamma$-convergentie van sequenties met oscillerende coëfficiënten $f(x/\varepsilon_n, \cdot)$ en $g(x/\varepsilon_n, \cdot)$. De gehomogeniseerde integranden worden gekarakteriseerd als limieten van minima van hulp-minimalisatieproblemen op grote kubussen.
   • Stochastisch: Zij passen deze resultaten toe in de stochastische setting waar $f$ en $g$ willekeurige velden zijn die stationariteit en ergodiciteit bevredigen. Door gebruik te maken van de Subadditieve Ergodische Stelling, bewijzen zij dat de $\Gamma$-limiet bijna zeker bestaat en deterministisch is (onafhankelijk van de realisatie $\omega$) indien de onderliggende transformatiegroep ergodisch is.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Extensie naar Vectoriële Functies: De primaire bijdrage is de uitbreiding van de homogenisatietheorie voor cohesieve vrije discontinuïteitsfunctionalen van de scalaire casus ($k=1$) naar de vectoriële casus ($k \geq 1$).
• Technische Innovatie in Afkapping: Het artikel introduceert een verfijnde afkaptechniek met behulp van gladde composities $\psi_m^i \circ u$ en bewijst dat er voor elke sequentie van functionalen een "goede" index $i$ (afhankelijk van $n, m, u$) bestaat die de energie-inschattingen behoudt. Dit lost de belangrijkste obstructie op bij het generaliseren van scalaire resultaten naar de vectoriële setting.
• Integrale Representatie in $GBV^*$: De auteurs bieden een volledige integrale representatie voor de $\Gamma$-limiet van sequenties van functionalen met lineaire groei en cohesieve oppervlakte-termen, waarbij zij de bulk-, oppervlakte- en Cantor-delen expliciet karakteriseren.
• Stochastische Homogenisatie: Het artikel vestigt een resultaat van bijna zekere $\Gamma$-convergentie voor stochastische vrije discontinuïteitsfunctionalen met cohesieve oppervlakte-termen, waarbij bewezen wordt dat de gehomogeniseerde energiedichtheid deterministisch is onder ergodische aannames.

Betekenis en Claims
De auteurs positioneren dit werk als een "voorlopige stap" naar het begrijpen van het asymptotische gedrag van scheurgroei in heterogene cohesieve materialen wanneer de korrelgrootte naar nul gaat. Zij stellen expliciet dat hun resultaten een volledig antwoord bieden op het eerste deel van het programma voor snelheid-onafhankelijke problemen: de $\Gamma$-convergentie van de energie-dissipatiefunctionalen.

Het artikel erkent dat de constructie van een "gezamenlijke recovery-sequentie", die vereist is om de convergentie van quasi-statische evoluties te bewijzen (het tweede deel van het programma), hier niet wordt behandeld. De resultaten worden ingekaderd als een rigoureuze wiskundige fundering voor homogenisatie in deze specifieke klasse van niet-lineaire, vectoriële vrije discontinuïteitsproblemen, voortbouwend op de scalaire fundamenten gelegd in [20, 21] en de vectoriële periodieke/stochastische werken over superlineaire groei [12, 13, 14, 15]. Het werk steunt zwaar op de structurele eigenschappen van $GBV^*$ en de specifieke groeicondities van cohesieve modellen, wat het onderscheidt van klassieke homogenisatie in $SBV$ of $BD$.