Homogenisation of vectorial free-discontinuity functionals with cohesive type surface terms

Resumen Técnico: Homogeneización de funcionales de discontinuidad libre vectorial con términos de superficie de tipo cohesivo

Planteamiento del problema
Este artículo aborda el comportamiento asintótico de secuencias de funcionales de discontinuidad libre en el entorno vectorial ($k \geq 1$). Específicamente, investiga la $\Gamma$-convergencia de funcionales definidos en el espacio $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$, el cual generaliza el espacio de funciones de variación acotada ($BV$) para acomodar funciones con valores no acotados pero con crecimiento controlado. Los funcionales bajo estudio toman la forma:
$$E(u, A) = \int_A f(x, \nabla u) \, dx + \int_A f^\infty\left(x, \frac{dD^c u}{d|D^c u|}\right) \, d|D^c u| + \int_{J_u \cap A} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
donde $f$ y $g$ satisfacen condiciones de crecimiento lineal típicas de los modelos de fractura cohesiva. A diferencia de trabajos previos que a menudo asumían un crecimiento superlineal (permitiendo la compacidad en $SBV$) o entornos escalares, este trabajo trata con el caso vectorial donde el término de superficie $g$ satisface una condición de crecimiento "cohesiva": $c(|\zeta| \wedge 1) \leq g(x, \zeta, \nu) \leq C(|\zeta| \wedge 1)$. Esta condición impide el control de la variación total del gradiente a lo largo de las sucesiones minimizantes, lo que requiere el uso del espacio más amplio $GBV^*$.

Metodología
Los autores extienden las técnicas desarrolladas en sus trabajos escalares previos [20, 21] al entorno vectorial, superando obstáculos técnicos significativos relacionados con la truncación.

1. Espacio de funciones y truncación: El estudio se lleva a cabo dentro de $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$. Una dificultad central en el caso vectorial es que las truncaciones estándar componente a componente $u^{(m)} = (u \wedge m) \vee (-m)$ no producen las estimaciones necesarias para los funcionales. En su lugar, los autores emplean truncaciones suaves de la forma $\psi_m^i \circ u$, donde $\psi_m^i$ son funciones de corte suaves específicas. Crucialmente, no pueden estimar el funcional para cada $i \in \{1, \dots, m\}$ simultáneamente; deben seleccionar un índice $i$ adecuado dependiendo de la sucesión y la función para obtener cotas válidas. Esto requiere una modificación del marco abstracto utilizado en el caso escalar.

2. Marco abstracto ($\mathcal{E}$): Los autores definen una clase abstracta de funcionales $\mathcal{E}$ sobre $L^0(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}^k) \times \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$. Demuestran un teorema de compacidad (Teorema 4.1) mostrando que cualquier sucesión en $\mathcal{E}$ admite una subsucesión $\Gamma$-convergente.

3. Representación integral:

   • Representación parcial: Para los funcionales en la subclase semicontínua inferior $\mathcal{E}_{sc}$, establecen una representación integral para la parte absolutamente continua ($E_a$) y la parte de salto ($E_j$) en términos de integrandos $f$ y $g$ (Teorema 5.16).
   • Representación completa: Para representar la parte de Cantor ($E_c$), introducen colecciones más pequeñas de integrandos $\mathcal{F}_\alpha$ y $\mathcal{G}_\vartheta$ con estimaciones cuantitativas específicas cerca del infinito y del cero. Bajo el supuesto de que el integrando de volumen $f$ es independiente de $x$, demuestran que el $\Gamma$-límite admite una representación integral completa incluyendo el término de Cantor (Teorema 7.1).

4. Homogeneización:

   • Determinista: Derivan condiciones necesarias y suficientes para la $\Gamma$-convergencia de sucesiones con coeficientes oscilantes $f(x/\varepsilon_n, \cdot)$ y $g(x/\varepsilon_n, \cdot)$. Los integrandos homogeneizados se caracterizan como límites de problemas de minimización auxiliares en cubos grandes.
   • Estocástica: Aplican estos resultados al entorno estocástico donde $f$ y $g$ son campos aleatorios que satisfacen estacionariedad y ergodicidad. Utilizando el Teorema Ergodico Subaditivo, demuestran que el $\Gamma$-límite existe casi seguramente y es determinista (independiente de la realización $\omega$) si el grupo de transformación subyacente es ergódico.

Contribuciones clave y resultados

• Extensión a funciones de valor vectorial: La principal contribución es la extensión de la teoría de homogeneización para funcionales de discontinuidad libre cohesivos desde el caso escalar ($k=1$) al caso vectorial ($k \geq 1$).
• Innovación técnica en la truncación: El artículo introduce una técnica de truncación refinada utilizando composiciones suaves $\psi_m^i \circ u$ y demuestra que para cualquier sucesión de funcionales, existe un "buen" índice $i$ (dependiente de $n, m, u$) que preserva las estimaciones de energía. Esto resuelve la principal obstrucción para generalizar los resultados escalares al entorno vectorial.
• Representación integral en $GBV^*$: Los autores proporcionan una representación integral completa para el $\Gamma$-límite de sucesiones de funcionales con crecimiento lineal y términos de superficie cohesivos, caracterizando explícitamente las partes de volumen, de superficie y de Cantor.
• Homogeneización estocástica: El artículo establece un resultado de $\Gamma$-convergencia casi segura para funcionales de discontinuidad libre cohesivos estocásticos, demostrando que la densidad de energía homogeneizada es determinista bajo supuestos de ergodicidad.

Significado y afirmaciones
Los autores posicionan este trabajo como un "paso preliminar" hacia la comprensión del comportamiento asintótico del crecimiento de grietas en materiales cohesivos heterogéneos a medida que el tamaño del grano tiende a cero. Afirman explícitamente que sus resultados proporcionan una respuesta completa a la primera parte del programa para problemas independientes de la tasa: la $\Gamma$-convergencia de los funcionales de energía-disipación.

El artículo reconoce que la construcción de una "sucesión de recuperación conjunta", la cual es requerida para probar la convergencia de evoluciones cuasi-estáticas (la segunda parte del programa), no se aborda aquí. Los resultados se enmarcan como un fundamento matemático riguroso para la homogeneización en esta clase específica de problemas de discontinuidad libre vectoriales no lineales, construyéndose sobre los fundamentos escalares establecidos en [20, 21] y los trabajos vectoriales de crecimiento superlineal [12, 13, 14, 15]. El trabajo depende fuertemente de las propiedades estructurales de $GBV^*$ y de las condiciones de crecimiento específicas de los modelos cohesivos, distinguiéndose de la homogeneización clásica en $SBV$o$BD$.