Homogenisation of vectorial free-discontinuity functionals with cohesive type surface terms

技术摘要：具有内聚型表面项的向量值自由不连续泛函的均质化

问题陈述
本文研究了向量值设置下（$k \geq 1$）自由不连续泛函序列的渐近行为。具体而言，研究了定义在 $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$ 空间上的泛函的 $\Gamma$-收敛性，该空间将函数的分变函数（$BV$）空间进行了推广，以容纳具有无界值但受控增长的函数。所研究的泛函形式如下：
$$E(u, A) = \int_A f(x, \nabla u) \, dx + \int_A f^\infty\left(x, \frac{dD^c u}{d|D^c u|}\right) \, d|D^c u| + \int_{J_u \cap A} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
其中 $f$ 和 $g$ 满足典型的内聚断裂模型中的线性增长条件。不同于以往通常假设超线性增长（从而允许在 $SBV$中实现紧致性）或标量设置的工作，本研究处理的是向量值情况，且其表面项$g$满足“内聚”增长条件：$c(|\zeta| \wedge 1) \leq g(x, \zeta, \nu) \leq C(|\zeta| \wedge 1)$。该条件防止了对梯度全变差在极小序列中的控制，因此必须使用更大的空间$GBV^*$。

方法论
作者将此前在标量工作中 [20, 21] 开发的技术扩展到了向量值设置，克服了与截断相关的重大技术障碍。

1. 函数空间与截断： 研究是在 $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$ 内进行的。向量值情况下的一个核心困难在于，标准的逐分量截断 $u^{(m)} = (u \wedge m) \vee (-m)$ 无法产生所需的泛函估计。相反，作者采用了形式为 $\psi_m^i \circ u$ 的光滑截断，其中 $\psi_m^i$ 是特定的光滑截断函数。至关重要的是，他们无法同时对每一个 $i \in \{1, \dots, m\}$ 进行估计；他们必须选择一个合适的索引 $i$（取决于序列和函数）以获得有效的界限。这需要对标量情况中使用的抽象框架进行修改。

2. 抽象框架 ($\mathcal{E}$)： 作者定义了一个定义在 $L^0(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}^k) \times \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ 上的抽象泛函类 $\mathcal{E}$。他们证明了一个紧致性定理（定理 4.1），表明任何属于 $\mathcal{E}$ 的序列都存在 $\Gamma$-收敛子序列。

3. 积分表示：

   • 部分表示： 对于属于下半连续子类 $\mathcal{E}_{sc}$ 的泛函，他们建立了关于生成元 $f$ 和 $g$ 的绝对连续部分（$E_a$）和跳跃部分（$E_j$）的积分表示（定理 5.16）。
   • 完全表示： 为了表示 Cantor 部分（$E_c$），他们引入了具有特定无穷远及零点附近定量估计的更小的生成元集合 $\mathcal{F}_\alpha$ 和 $\mathcal{G}_\vartheta$。在体生成元 $f$ 与 $x$ 无关的假设下，他们证明了 $\Gamma$-极限具有包含 Cantor 项的完整积分表示（定理 7.1）。

4. 均质化：

   • 确定性： 他们推导了具有振荡系数 $f(x/\varepsilon_n, \cdot)$ 和 $g(x/\varepsilon_n, \cdot)$ 的序列的 $\Gamma$-收敛性的充要条件。均质化生成元被表征为在大立方体上辅助极小化问题的极小值的极限。
   • 随机性： 他们将这些结果应用于 $f$ 和 $g$ 为满足平稳性和遍历性的随机场的随机设置。通过利用次可加遍历定理，他们证明了在底层变换群是遍历的情况下，$\Gamma$-极限几乎处处存在且是确定性的（独立于实现 $\omega$）。

主要贡献与结果

• 扩展至向量值函数： 主要贡献是将内聚自由不连续泛函的均质化理论从标量情况（$k=1$）扩展到了向量值情况（$k \geq 1$）。
• 截断技术的技术创新： 本文引入了一种使用光滑复合函数 $\psi_m^i \circ u$ 的精细截断技术，并证明了对于任何泛函序列，都存在一个“好的”索引 $i$（依赖于 $n, m, u$）能够保持能量估计。这解决了将标量结果推广到向量值设置的主要障碍。
• $GBV^*$ 中的积分表示： 作者为具有线性增长和内聚表面项的序列之 $\Gamma$-极限提供了完整的积分表示，明确表征了体、表面和 Cantor 部分。
• 随机均质化： 本文建立了具有内聚表面项的随机自由不连续泛函的几乎处处 $\Gamma$-收敛性结果，证明了在遍历性假设下，均质化能量密度是确定性的。

意义与主张
作者将这项工作定位为理解异质内聚材料在晶粒尺寸趋于零时裂纹扩展渐近行为的“初步步骤”。他们明确指出，其结果为速率无关问题程序的第一部分提供了完整的回答：即能量-耗散泛函的 $\Gamma$-收敛性。

论文承认，构建用于证明拟静态演化（程序的第二部分）所需的“联合恢复序列”并非本文讨论范围。研究结果被构架为针对此类非线性、向量值自由不连续问题进行均质化的严谨数学基础，并建立在 [20, 21] 的标量基础以及 [12, 13, 14, 15] 关于超线性增长的向量值周期/随机性工作的之上。该工作高度依赖于 $GBV^*$ 的结构性质以及内聚模型的特定增长条件，这使其区别于经典的 $SBV$或$BD$ 中的均质化研究。