Homogenisation of vectorial free-discontinuity functionals with cohesive type surface terms

Sintesi Tecnica: Omogeneizzazione di Funzionali a Discontinuità Libera Vettoriale con Termini Superficiali di Tipo Coesivo

Enunciato del Problema
Questo articolo affronta il comportamento asintotico di sequenze di funzionali a discontinuità libera nel contesto vettoriale ($k \geq 1$). Nello specifico, investiga la $\Gamma$-convergenza di funzionali definiti sullo spazio $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$, che generalizza lo spazio delle funzioni a variazione limitata ($BV$) per accomodare funzioni con valori illimitati ma crescita controllata. I funzionali oggetto di studio assumono la forma:
$$E(u, A) = \int_A f(x, \nabla u) \, dx + \int_A f^\infty\left(x, \frac{dD^c u}{d|D^c u|}\right) \, d|D^c u| + \int_{J_u \cap A} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
dove $f$ e $g$ soddisfano condizioni di crescita lineare tipiche dei modelli di frattura coesiva. A differenza di lavori precedenti che spesso assumevano una crescita superlineare (permettendo la compattezza in $SBV$) o contesti scalari, questo lavoro tratta il caso vettoriale in cui il termine superficiale $g$ soddisfa una condizione di crescita "coesiva": $c(|\zeta| \wedge 1) \leq g(x, \zeta, \nu) \leq C(|\zeta| \wedge 1)$. Questa condizione impedisce il controllo della variazione totale del gradiente lungo le sequenze minimizzanti, rendendo necessario l'uso dello spazio più ampio $GBV^*$.

Metodologia
Gli autori estendono le tecniche sviluppate nei loro precedenti lavori scalari [20, 21] al contesto vettoriale, superando significativi ostacoli tecnici legati alla troncatura.

1. Spazio delle Funzioni e Troncatura: Lo studio è condotto all'interno di $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$. Una difficoltà centrale nel caso vettoriale è che le troncature standard per componenti $u^{(m)} = (u \wedge m) \vee (-m)$ non forniscono le stime necessarie per i funzionali. Invece, gli autori impiegano troncature regolari della forma $\psi_m^i \circ u$, dove $\psi_m^i$ sono specifiche funzioni di taglio regolari. Fondamentalmente, non possono stimare il funzionale per ogni $i \in \{1, \dots, m\}$ simultaneamente; devono selezionare un indice $i$ idoneo a seconda della sequenza e della funzione per ottenere vincoli validi. Ciò richiede una modifica del framework astratto utilizzato nel caso scalare.

2. Framework Astratto ($\mathcal{E}$): Gli autori definiscono una classe astratta di funzionali $\mathcal{E}$ su $L^0(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}^k) \times \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$. Dimostrano un teorema di compattezza (Teorema 4.1) mostrando che ogni sequenza in $\mathcal{E}$ ammette una sottosequenza $\Gamma$-convergente.

3. Rappresentazione Integrale:

   • Rappresentazione Parziale: Per i funzionali nella sottoclasse semicontinua inferiore $\mathcal{E}_{sc}$, stabiliscono una rappresentazione integrale per la parte assolutamente continua ($E_a$) e la parte di salto ($E_j$) in termini di integrandi $f$ e $g$ (Teorema 5.16).
   • Rappresentazione Completa: Per rappresentare la parte Cantor ($E_c$), introducono collezioni più piccole di integrandi $\mathcal{F}_\alpha$ e $\mathcal{G}_\vartheta$ con specifiche stime quantitative vicino all'infinito e allo zero. Sotto l'assunzione che l'integrando di bulk $f$ sia indipendente da $x$, dimostrano che il $\Gamma$-limite ammette una piena rappresentazione integrale includendo il termine Cantor (Teorema 7.1).

4. Omogeneizzazione:

   • Deterministica: Derivano condizioni necessarie e sufficienti per la $\Gamma$-convergenza di sequenze con coefficienti oscillanti $f(x/\varepsilon_n, \cdot)$ e $g(x/\varepsilon_n, \cdot)$. Gli integrandi omogeneizzati sono caratterizzati come limiti di minimi di problemi di minimizzazione ausiliari su grandi cubi.
   • Stocastica: Applicano questi risultati al contesto stocastico in cui $f$ e $g$ sono campi casuali che soddisfano proprietà di stazionarietà ed ergodicità. Utilizzando il Teorema Ergodico Subadditivo, dimostrano che il $\Gamma$-limite esiste quasi certamente ed è deterministico (indipendente dalla realizzazione $\omega$) se il gruppo di trasformazione sottostante è ergodico.

Contributi Chiave e Risultati

• Estensione alle Funzioni Vettoriali: Il contributo primario è l'estensione della teoria dell'omogeneizzazione per i funzionali a discontinuità libera coesivi dal caso scalare ($k=1$) al caso vettoriale ($k \geq 1$).
• Innovazione Tecnica nella Troncatura: Il lavoro introduce una tecnica di troncatura raffinata utilizzando composizioni regolari $\psi_m^i \circ u$ e dimostra che, per ogni sequenza di funzionali, esiste un "buon" indice $i$ (dipendente da $n, m, u$) che preserva le stime di energia. Questo risolve l'ostacolo principale nell'estendere i risultati scalari al contesto vettoriale.
• Rappresentazione Integrale in $GBV^*$: Gli autori forniscono una completa rappresentazione integrale del $\Gamma$-limite di sequenze di funzionali con crescita lineare e termini superficiali coesivi, caratterizzando esplicitamente le parti di bulk, di superficie e Cantor.
• Omogeneizzazione Stocastica: Il lavoro stabilisce un risultato di $\Gamma$-convergenza quasi certa per funzionali a discontinuità libera coesivi stocastici, provando che la densità di energia omogeneizzata è deterministica sotto assunzioni di ergodicità.

Significato e Rivendicazioni
Gli autori pongono questo lavoro come un "passaggio preliminare" verso la comprensione del comportamento asintotico della crescita delle crepe in materiali coesivi eterogenei al tendere della dimensione del grano a zero. Essi dichiarano esplicitamente che i loro risultati forniscono una risposta completa alla prima parte del programma per i problemi indipendenti dal tempo: la $\Gamma$-convergenza dei funzionali di energia-dissipazione.

Il documento riconosce che la costruzione di una "sequenza di recupero congiunta", necessaria per dimostrare la convergenza delle evoluzioni quasi-statiche (la seconda parte del programma), non viene qui affrontata. I risultati sono inquadrati come una rigorosa fondazione matematica per l'omogeneizzazione in questa specifica classe di problemi a discontinuità libera vettoriali non lineari, basandosi sulle fondamenta scalari poste in [20, 21] e sui lavori vettoriali su crescita superlineare [12, 13, 14, 15]. Il lavoro si basa fortemente sulle proprietà strutturali di $GBV^*$ e sulle specifiche condizioni di crescita dei modelli coesivi, distinguendosi dai classici lavori di omogeneizzazione in $SBV$o$BD$.