Homogenisation of vectorial free-discontinuity functionals with cohesive type surface terms

Résumé Technique : Homogénéisation de fonctionnelles de discontinuité libre vectorielles avec termes de surface de type cohésif

Énoncé du Problème
Cet article traite du comportement asymptotique de suites de fonctionnelles de discontinuité libre dans le cadre vectoriel ($k \geq 1$). Plus précisément, il étudie la $\Gamma$-convergence de fonctionnelles définies sur l'espace $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$, qui généralise l'espace des fonctions de variation bornée ($BV$) pour accommoder des valeurs non bornées mais une croissance contrôlée. Les fonctionnelles étudiées prennent la forme :
$$E(u, A) = \int_A f(x, \nabla u) \, dx + \int_A f^\infty\left(x, \frac{dD^c u}{d|D^c u|}\right) \, d|D^c u| + \int_{J_u \cap A} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
où $f$ et $g$ satisfont des conditions de croissance linéaire typiques des modèles de fracture cohésive. Contrairement aux travaux précédents qui supposent souvent une croissance superlinéaire (permettant la compacité dans $SBV$) ou un cadre scalaire, ce travail traite du cas vectoriel où le terme de surface $g$ satisfait une condition de croissance « cohésive » : $c(|\zeta| \wedge 1) \leq g(x, \zeta, \nu) \leq C(|\zeta| \wedge 1)$. Cette condition empêche le contrôle de la variation totale du gradient le long des suites minimisantes, nécessitant l'usage de l'espace plus large $GBV^*$.

Méthodologie
Les auteurs étendent les techniques développées dans leurs travaux scalaires précédents [20, 21] au cadre vectoriel, en surmontant des obstacles techniques importants liés à la troncature.

1. Espace de Fonctions et Troncature : L'étude est menée au sein de $GBV^*(A; \mathbb{R}^k)$. Une difficulté centrale dans le cas vectoriel est que les troncatures par composante standard $u^{(m)} = (u \wedge m) \vee (-m)$ ne produisent pas les estimations nécessaires pour les fonctionnelles. Au lieu de cela, les auteurs emploient des troncatures lisses de la forme $\psi_m^i \circ u$, où $\psi_m^i$ sont des fonctions de coupure lisses spécifiques. Crucialement, ils ne peuvent pas estimer la fonctionnelle pour chaque $i \in \{1, \dots, m\}$ simultanément ; ils doivent sélectionner un indice $i$ approprié dépendant de la suite et de la fonction pour obtenir des bornes valides. Cela nécessite une modification du cadre abstrait utilisé dans le cas scalaire.

2. Cadre Abstrait ($\mathcal{E}$) : Les auteurs définissent une classe abstraite de fonctionnelles $\mathcal{E}$ sur $L^0(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}^k) \times \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$. Ils prouvent un théorème de compacité (Théorème 4.1) montrant que toute suite dans $\mathcal{E}$ admet une sous-suite $\Gamma$-convergente.

3. Représentation Intégrale :

   • Représentation Partielle : Pour les classes de fonctionnelles de la sous-classe semi-continue inférieure $\mathcal{E}_{sc}$, ils établissent une représentation intégrale pour la partie absolument continue ($E_a$) et la partie de saut ($E_j$) en termes d'intégrandes $f$ et $g$ (Théorème 5.16).
   • Représentation Complète : Pour représenter la partie de Cantor ($E_c$), ils introduisent des collections plus restreintes d'intégrandes $\mathcal{F}_\alpha$ et $\mathcal{G}_\vartheta$ possédant des estimations quantitatives spécifiques à l'infini et à zéro. Sous l'hypothèse que l'intégrande de volume $f$ est indépendant de $x$, ils prouvent que la limite $\Gamma$ admet une représentation intégrale complète incluant le terme de Cantor (Théorème 7.1).

4. Homogénéisation :

   • Déterministe : Ils dérivent les conditions nécessaires et suffisantes pour la $\Gamma$-convergence de suites avec coefficients oscillants $f(x/\varepsilon_n, \cdot)$ et $g(x/\varepsilon_n, \cdot)$. Les intégrandes homogénéisés sont caractérisés comme des limites de minima de problèmes de minimisation auxiliaires sur de grands cubes.
   • Stochastique : Ils appliquent ces résultats au cadre stochastique où $f$ et $g$ sont des champs aléatoires satisfaisant la stationnarité et l'ergodicité. En utilisant le Théorème Ergodique Sous-Additif, ils prouvent que la limite $\Gamma$ existe presque sûrement et est déterministe (indépendante de la réalisation $\omega$) si le groupe de transformation sous-jacent est ergodique.

Contributions Clés et Résultats

• Extension aux Fonctions à Valeurs Vectorielles : La principale contribution est l'extension de la théorie de l'homogénéisation des fonctionnelles de discontinuité libre cohésives du cas scalaire ($k=1$) au cas vectoriel ($k \geq 1$).
• Innovation Technique de Troncature : Le papier introduit une technique de troncature raffinée utilisant des compositions lisses $\psi_m^i \circ u$ et prouve que pour toute suite de fonctionnelles, il existe un « bon » indice $i$ (dépendant de $n, m, u$) qui préserve les estimations d'énergie. Cela résout l'obstacle principal à la généralisation des résultats scalaires au cadre vectoriel.
• Représentation Intégrale dans $GBV^*$ : Les auteurs fournissent une représentation intégrale complète pour la limite $\Gamma$ de suites de fonctionnelles avec croissance linéaire et termes de surface cohésifs, caractérisant explicitement les parties de volume, de surface et de Cantor.
• Homogénéisation Stochastique : Le papier établit un résultat de $\Gamma$-convergence presque sûre pour les fonctionnelles de discontinuité libre stochastiques avec des termes de surface cohésifs, prouvant que la densité d'énergie homogénéisée est déterministe sous des hypothèses d'ergodicité.

Signification et Revendications
Les auteurs positionnent ce travail comme une « étape préliminaire » vers la compréhension du comportement asymptotique de la croissance des fissures dans les matériaux cohésifs hétérogènes lorsque la taille des grains tend vers zéro. Ils affirment explicitement que leurs résultats fournissent une réponse complète à la première partie du programme pour les problèmes indépendants du temps : la $\Gamma$-convergence des fonctionnelles d'énergie-dissipation.

L'article reconnaît que la construction d'une « suite de recouvrement conjointe », requise pour prouver la convergence des évolutions quasi-statiques (la seconde partie du programme), n'est pas traitée ici. Les résultats sont présentés comme un fondement mathématique rigoureux pour l'homogénéisation dans cette classe spécifique de problèmes de discontinuité libre non linéaires et vectoriels, s'appuyant sur les fondations scalaires posées en [20, 21] et sur les travaux vectoriels périodiques/stochastiques sur la croissance superlinéaire [12, 13, 14, 15]. Le travail repose fortement sur les propriétés structurelles de $GBV^*$ et sur les conditions de croissance spécifiques des modèles cohésifs, se distinguant ainsi de l'homogénéisation classique dans $SBV$ ou $BD$.