Unlikely intersections with CM abelian varieties in a family and explicit bounds for canonical heights under endomorphisms

Technische Zusammenfassung: Unwahrscheinliche Schnittpunkte mit CM-Abelschen Varietäten in einer Familie und explizite Schranken für kanonische Höhen unter Endomorphismen

Problemstellung
Die Arbeit behandelt einen spezifischen Fall der Zilber–Pink-Vermutung bezüglich „unwahrscheinlicher Schnittpunkte“ innerhalb von Familien abelscher Varietäten. Sei $S$ eine glatte irreduzible Kurve über $\mathbb{Q}$ und $\pi: A \to S$ ein abelsches Schema der relativen Dimension $g \geq 1$. Die Autoren untersuchen den Schnittpunkt einer irreduziblen Kurve $C \subset A$ (definiert über $\mathbb{Q}$) mit der Vereinigung aller echten algebraischen Untergruppen der Fasern $A_s$, die komplexe Multiplikation (CM) besitzen.

Vorherige Arbeiten von Barroero und Capuano (2020) haben etabliert, dass, falls $C$ nicht in einem geeigneten Untergruppenschema enthalten ist, ihr Schnittpunkt mit der Vereinigung aller flachen Untergruppenschemata der Codimension mindestens 2 endlich ist. Diese Arbeit erweitert dieses Resultat auf den Fall, dass die Schnittpunkte speziell mit den algebraischen Untergruppen der CM-Fasern erfolgen. Das Haupttheorem besagt, dass, falls $A \to S$ nicht isotrivial ist und $C$ nicht in einer festen Faser oder einem Verschiebungsbild eines geeigneten flachen Untergruppenschemas durch einen konstanten Schnitt beschränkt ist, die Menge der Punkte $P \in C(\mathbb{C})$, sodass die Faser $A_{\pi(P)}$ CM besitzt und $P$ in einer geeigneten algebraischen Untergruppe dieser Faser liegt, endlich ist.

Methodik
Der Beweis folgt der Pila–Zannier-Strategie, welche funktionale Transzendenz (o-Minimierbarkeit) mit arithmetischer Geometrie kombiniert. Die Methodik gliedert sich in die folgenden Phasen:

1. Reduktion auf die universelle Familie: Das Problem wird auf den Fall reduziert, in dem $A$ die universelle Familie der prinzipial polarisierten abelschen Varietäten über einer Kurve $S \subset \mathcal{A}_g$ ist. Dies erfordert endliche Basenwechsel und Isogenien, um die Existenz einer prinzipialen Polarisation und einer Level-3-Struktur zu gewährleisten, was die Verwendung des feinen Modulraums $\mathcal{A}_{g,1,3}$ ermöglicht.
2. o-Minimierbarkeit und Definierbarkeit: Unter Verwendung der Uniformisierung der universellen Familie durch den Siegelschen Halbraum $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^g$ betrachten die Autoren das Präimage der Kurve $C$. Durch die Beschränkung auf eine Siegel-Fundamentbereich wird dieses Präimage eine definierbare Menge in der o-minimalen Struktur $\mathbb{R}_{an, \exp}$.
3. Punktzählung: Die Autoren wenden ein Theorem von Habegger und Pila an, um die Anzahl der Punkte auf dieser definierbaren Menge zu beschränken, die auf algebraischen Untervarietäten von beschränkter arithmetischer Komplexität liegen. Dies erfordert den Nachweis, dass die algebraischen Relationen, welche die Schnittpunkte definieren, eine kontrollierte Höhe besitzen.
4. Arithmetische Schranken: Der Kern des arithmetischen Arguments besteht darin, explizite Schranken für die kanonische Höhe von Punkten auf $C$ in Abhängigkeit von der Faltings-Höhe der Faser und dem Grad der Definitionsfeld-Erweiterung abzuleiten. Entscheidend ist hierbei die Konstruktion eines nicht-verschwindenden Endomorphismus der Faser, der im Punkt $P$ verschwindet.
5. Explizite Höhenkontrolle: Ein wesentlicher Teil der Arbeit widmet sich der Bereitstellung expliziter Schranken für die kanonische Höhe unter Endomorphismen. Die Autoren bestimmen Konstanten $\gamma_1, \gamma_2$, sodass $\gamma_1 \hat{h}(P) \leq \hat{h}(f(P)) \leq \gamma_2 \hat{h}(P)$ gilt, wobei diese Konstanten aus den Eigenwerten der analytischen Darstellung von $f^\dagger f$ (wobei $\dagger$ die Rosati-Involution ist) abgeleitet werden.

Wesentliche Beiträge und Resultate

• Haupttheorem (Theorem 1.1): Beweist die Endlichkeit des Schnittpunkts einer nicht-isotrivialen Kurve $C$ in einem abelschen Schema mit den geeigneten algebraischen Untergruppen der CM-Fasern, vorausgesetzt, dass $C$ nicht in einer festen Faser oder einem Verschiebungsbild eines flachen Untergruppenschemas liegt. Dies generalisiert ein vorangegangenes Resultat von Barroero (2019) von fibrierten Potenzen elliptischer Schemata auf allgemeine abelsche Schemata.
• Explizite kanonische Höhenschranken (Theorem 1.4 / Theorem 7.3): Die Arbeit etabliert eine allgemeine Ungleichung für die kanonische Höhe unter Endomorphismen:
  $$\alpha_D^-(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P) \leq \hat{h}_{A,D}(f(P)) \leq \alpha_D^+(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P)$$
  Hierbei sind $\alpha_D^\pm(f)$ die minimalen und maximalen Eigenwerte der analytischen Darstellung von $f^\dagger f$. Die Autoren beweisen, dass diese Konstanten optimal sind, und liefern explizite Formeln für sie. Dieses Resultat ist von eigenständigem Interesse und generalisiert die klassische Identität $\hat{h}([n]P) = n^2 \hat{h}(P)$.
• Schranken für die arithmetische Komplexität: Die Autoren leiten explizite Schranken für die Höhe der Periodenmatrix und des Endomorphismus ab, der mit einem Punkt $P$ in der Schnittmenge assoziiert ist. Speziell zeigen sie, dass die Rosati-Norm des Endomorphismus, der in $P$ verschwindet, durch ein Polynom in dem Grad $[k(P):k]$ beschränkt ist.
• Matrizen-Schranken für Endomorphismen (Abschnitt 5): Die Arbeit liefert effektive Schranken, die die Rosati-Norm eines Endomorphismus mit der Sup-Norm seiner rationalen Repräsentationsmatrix in Beziehung setzen, abhängig von der Periodenmatrix und dem Polarisationstyp.

Bedeutung und Behauptungen
Die Arbeit beansprucht, die Zilber–Pink-Vermutung für Kurven in nicht-isotrivialen abelschen Schemata im spezifischen Kontext von Schnittpunkten mit CM-Fasern gelöst zu haben. Die Autoren merken an, dass während die volle Zilber–Pink-Vermutung für Kurven in nicht-isotrivialen abelschen Schemata zuvor nur für fibrierte Potenzen elliptischer Schemata bekannt war (durch die Arbeiten von Barroero, Capuano und anderen), dieses Resultat den Umfang auf allgemeine abelsche Schemata ausweitet.

Die Bedeutung der Arbeit liegt in zwei Bereichen:

1. Generalisierung: Sie geht über den spezifischen Rahmen elliptischer Schemata hinaus zu beliebigen abelschen Schemata, was eine anspruchsvollere Behandlung von Endomorphismen und Höhen erfordert.
2. Explizitheit: Im Gegensatz zu vielen Ergebnissen auf diesem Gebiet, die sich auf die Existenz von Konstanten ohne explizite Werte stützen, liefert diese Arbeit explizite Schranken für die kanonische Höhe unter Endomorphismen und für die arithmetische Komplexität der relevanten algebraischen Relationen. Diese explizite Kontrolle ist ein entscheidendes Element des Beweises, da sie es den Autoren ermöglicht, die arithmetische untere Schranke (abgeleitet aus der Existenz des Endomorphismus) mit der geometrischen oberen Schranke (abgeleitet aus der Pila–Zannier-Strategie) zu vergleichen, um die Endlichkeit zu konkludieren.

Die Autoren räumen ein, dass das Resultat ein Spezialfall der breiteren Zilber–Pink-Vermutung ist und dass die verwendeten Werkzeuge der funktionalen Transzendenz (speziell Ax-Schanuel-Typ Ergebnisse) den Beweis derzeit auf die angegebene Form beschränken, insbesondere hinsichtlich der Schnitte, die keine Konstanten sind. Die Arbeit wird als Beitrag zum Verständnis unwahrscheinlicher Schnittpunkte und der Arithmetik abelscher Varietäten präsentiert, aufbauend auf den Grundlagenwerken von Masser, Zannier, Pila und anderen.