Unlikely intersections with CM abelian varieties in a family and explicit bounds for canonical heights under endomorphisms

技術的要約：ファミリーにおけるCMアーベル多様体との非典型的な交差、および自己準同型下での標準高さに関する明示的な境界

問題設定
本論文は、アーベル多様体のファミリーにおける「非典型的な交差（unlikely intersections）」に関するジルベル・ピンク予想の特定の事例を扱っている。$S$ を $\mathbb{Q}$ 上の滑らかな既約曲線とし、$\pi: A \to S$ を相対次元 $g \geq 1$ のアーベル・スキームとする。著者らは、既約曲線 $C \subset A$ （$\mathbb{Q}$ 上で定義されたもの）と、CM（複素乗法）を持つ各ファイバー $A_s$ のすべての真な代数的部分群との交差を調査している。

Barroero および Capuano (2020) による先行研究では、$C$ が真な部分群スキームに含まれていない場合、余次元2以上の平坦な部分群スキームの和集合との交差は有限であることが確立されている。本論文は、この結果を、交差が具体的に「CMファイバー」の代数的部分群において起こるケースへと拡張するものである。主定理は、$A \to S$ が非等質的（non-isotrivial）であり、$C$ が固定されたファイバーや定数セクションによる真な平坦部分群スキームの平行移動に含まれていないならば、$P \in C(\mathbb{C})$ のうち、ファイバー $A_{\pi(P)}$ がCMを持ち、かつ $P$ がそのファイバーの真な代数的部分群に含まれる点の集合は有限である、と主張している。

手法
証明は、関数超越性（o-minimality）と算術幾何学を組み合わせた Pila–Zannier 戦略に従っている。その手法は以下の段階に分けられる。

1. 普遍的ファミリーへの還元： 問題は、$A$ が $\mathcal{A}_g$ 上の曲線 $S \subset \mathcal{A}_g$ 上の主分極されたアーベル多様体の普遍的ファミリーであるケースへと還元される。これには、主分極とレベル3構造の存在を保証するための、有限の基底変更とイソジェニーが含まれる。これにより、微細モジュライ空間 $\mathcal{A}_{g,1,3}$ の使用が可能となる。
2. o-minimality と定義可能性： シーゲル上半平面 $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^g$ による普遍的ファミリーのユニフォーミゼーションを用いて、曲線 $C$ の逆像を考える。シーゲル基本領域への制限により、この逆像は o-minimal 構造 $\mathbb{R}_{an, \exp}$ における定義可能な集合となる。
3. 点計数： 著者らは、有界な算術的複雑さを持つ代数的部分多様体の上に位置する、この定義可能な集合上の点の数を抑えるために、Habegger および Pila の定理を適用する。これには、交差を定義する代数的な関係が制御された高さを持つことを確立する必要がある。
4. 算術的境界： 算術的議論の核心は、ファイバーのファルティング・高さおよび定義体の次数に関して、点 $P$ の標準高さを導出することにある。決定的なのは、点 $P$ で消滅する非ゼロの自己準同型を構成することである。
5. 明示的な高さの制御： 論文の大部分は、自己準同型下での標準高さに関する明示的な境界を提供することに割かれている。著者らは、$\hat{h}(P)$ と $\hat{h}(f(P))$ の間に $\gamma_1 \hat{h}(P) \leq \hat{h}(f(P)) \leq \gamma_2 \hat{h}(P)$ となる定数 $\gamma_1, \gamma_2$ を決定している。ここで、これらの定数は $f^\dagger f$ （$\dagger$ はロサティ・随伴）の解析的表現の固有値から導かれる。

主要な貢献と結果

• 主定理 (Theorem 1.1)： 非等質的なアーベル・スキーム内の非等質的な曲線 $C$ の、CMファイバーの真な代数的部分群との交差の有限性を証明する。これは、楕円スキームのファイバー冪（fibered powers）から一般のアーベル・スキームへと、Barroero (2019) による結果を一般化したものである。
• 明示的な標準高さの境界 (Theorem 1.4 / Theorem 7.3)： 自己準同型下での標準高さに関する一般的な不等式を確立する：
  $$\alpha_D^-(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P) \leq \hat{h}_{A,D}(f(P)) \leq \alpha_D^+(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P)$$
  ここで、$\alpha_D^\pm(f)$ は $f^\dagger f$ の解析的表現の最小および最大固有値である。著者らは、これらの定数が最適であることを証明し、それらの明示的な公式を提供している。この結果は、古典的な恒等式 $\hat{h}([n]P) = n^2 \hat{h}(P)$ を一般化したものであり、独立した関心事である。
• 算術的複雑さの境界： 著者らは、周期行列および点 $P$ に付随する自己準同型の高さに関する明示的な境界を導出している。具体的には、$P$ で消滅する自己準同族のロサティ・ノルムが、次数 $[k(P):k]$ の多項式によって抑えられることを示している。
• 自己準同型の行列境界 (Section 5)： 本論文は、自己準同族のロサティ・ノルムと、その有理的表現行列の sup-norm との関係についての有効な境界を提供している。これは、周期行列と分極の型に依存する。

意義と主張
本論文は、非等質的なアーベル・スキームにおける曲線の文脈において、CMファイバーとの交差に関するジルベル・ピンク予想を解決したと主張している。著者らは、非等質的なアーベル・スキームにおける曲線に対する完全なジルベル・ピンク予想は、以前は（Barroero, Capuano らの研究を通じて）楕円スキームのファイバー冪に対してのみ知られていたが、本結果は一般のアーベル・スキームへとその範囲を広げるものであると述べている。

本研究の意義は、以下の2点にある：

1. 一般化： 楕円スキームという特定の状況を超え、より洗練された自己準同型と高さの扱いを必要とする任意のアーベル・スキームへと移行している。
2. 明示性： 定数の存在のみに依存する多くの結果とは異なり、本論文は自己準同型下での標準高さ、および関連する代数的関係の算術的複雑さに対して「明示的な」境界を提供している。この明示的な制御は証明の鍵となる要素であり、自己準同型の存在から導かれる算術的な下界と、Pila–Zannier 戦略から導かれる幾何学的な上界を比較することで、有限性を結論付けることを可能にしている。

著者らは、この結果がより広範なジルベル・ピンク予想の特殊なケースであることを認めており、使用されている関数超越性の道具（特に Ax-Schanuel 型の結果）が、特に定数ではないセクションに関して、現在の証明の形式を制限していることを指摘している。本研究は、Masser, Zannier, Pila らの基礎的な研究に基づき、非典型的な交差とアーベル多様体の算術に関する理解への貢献として提示されている。