Unlikely intersections with CM abelian varieties in a family and explicit bounds for canonical heights under endomorphisms

Resumen Técnico: Intersecciones Improbables con Variedades Abelianas con CM en una Familia y Cotas Explícitas para Alturas Canónicas bajo Endomorfismos

Planteamiento del Problema
El artículo aborda un caso específico de la conjetura de Zilber–Pink relativa a "intersecciones improbables" dentro de familias de variedades abelianas. Sea $S$ una curva irreducible suave sobre $\mathbb{Q}$ y $\pi: A \to S$ un esquema abeliano de dimensión relativa $g \geq 1$. Los autores investigan la intersección de una curva irreducible $C \subset A$ (definida sobre $\mathbb{Q}$) con la unión de todos los subgrupos algebraicos propios de las fibras $A_s$ que poseen CM (Multiplicación Compleja).

Un trabajo previo de Barroero y Capuano (2020) estableció que, si $C$ no está contenida en un subgrupo propio, su intersección con la unión de los subgrupos planos de codimensión al menos 2 es finita. Este artículo extiende ese resultado al caso en el que las intersecciones ocurren específicamente con los subgrupos algebraicos de las fibras con CM. El teorema principal afirma que, si $A \to S$ no es isotrivial y $C$ no está contenida en una fibra fija o en un traslación de un subgrupo plano propio por una sección constante, entonces el conjunto de puntos $P \in C(\mathbb{C})$ tales que la fibra $A_{\pi(P)}$ tiene CM y $P$ yace en un subgrupo algebraico propio de dicha fibra es finito.

Metodología
La demostración sigue la estrategia de Pila–Zannier, combinando la trascendencia funcional (o-minimalidad) con la geometría aritmética. La metodología procede a través de las siguientes etapas:

1. Reducción a la Familia Universal: El problema se reduce al caso donde $A$ es la familia universal de variedades abelianas principalmente polarizadas sobre una curva $S \subset \mathcal{A}_g$. Esto implica cambios de base finitos e isogenias para asegurar la existencia de una polarización principal y una estructura de nivel 3, permitiendo el uso del espacio modular fino $\mathcal{A}_{g,1,3}$.
2. O-minimalidad y Definibilidad: Utilizando la uniformización de la familia universal por el espacio semiespacio de Siegel $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^g$, los autores consideran la preimagen de la curva $C$. Al restringir a un dominio fundamental de Siegel, esta preimagen se convierte en un conjunto definible en la estructura o-minimal $\mathbb{R}_{an, \exp}$.
3. Conteo de Puntos: Los autores aplican un teorema de Habegger y Pila para acotar el número de puntos en este conjunto definible que yacen en variedades algebraicas de complejidad aritmética acotada. Esto requiere establecer que las relaciones algebraicas que definen las intersecciones tienen una altura controlada.
4. Cotas Aritméticas: El núcleo del argumento aritmético consiste en derivar cotas explícitas para la altura canónica de los puntos en $C$ en términos de la altura de Faltings de la fibra y el grado del campo de definición. Crucialmente, esto depende de la construcción de un endomorfismo no nulo de la fibra que se anula en el punto $P$.
5. Control Explícito de la Altura: Una parte significativa del trabajo se dedica a proporcionar cotas explícitas para la altura canónica bajo endomorfismos. Los autores determinan constantes $\gamma_1, \gamma_2$ tales que $\gamma_1 \hat{h}(P) \leq \hat{h}(f(P)) \leq \gamma_2 \hat{h}(P)$, donde estas constantes se derivan de los autovalores de la representación analítica de $f^\dagger f$ (donde $\dagger$ es la involución de Rosati).

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema Principal (Teorema 1.1): Demuestra la finitud de la intersección de una curva no isotrivial $C$ en un esquema abeliano con los subgrupos algebraicos propios de las fibras con CM, siempre que $C$ no esté contenida en una fibra fija o en una traslación de un subgrupo plano. Esto generaliza un resultado previo de Barroero (2019) de potencias fibradas de esquemas elípticos a esquemas abelianos generales.
• Cotas Explícitas de Altura Canónica (Teorema 1.4 / Teorema 7.3): El artículo establece una desigualdad general para la altura canónica bajo endomorfismos:
  $$\alpha_D^-(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P) \leq \hat{h}_{A,D}(f(P)) \leq \alpha_D^+(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P)$$
  Aquí, $\alpha_D^\pm(f)$ son los autovalores mínimo y máximo de la representación analítica de $f^\dagger f$. Los autores prueban que estas constantes son óptimas y proporcionan fórmulas explícitas para ellas. Este resultado es de interés independiente, generalizando la identidad clásica $\hat{h}([n]P) = n^2 \hat{h}(P)$.
• Cotas de Complejidad Aritmética: Los autores derivan cotas explícitas para la altura de la matriz de periodos y el endomorfismo asociado a un punto $P$ en el conjunto de intersección. Específicamente, muestran que la norma de Rosati del endomorfismo que se anula en $P$ está acotada por un polinomio en el grado $[k(P):k]$.
• Cotas Matriciales para Endomorfismos (Sección 5): El artículo proporciona cotas efectivas que relacionan la norma de Rosati de un endomorfismo con la norma sup de su matriz de representación racional, dependiendo de la matriz de periodos y el tipo de polarización.

Significación y Reivindicaciones
El artículo afirma resolver la conjetura de Zilber–Pink para curvas en esquemas abelianos no isotriviales en el contexto específico de las intersecciones con fibras CM. Los autores señalan que, si bien la conjetura completa de Zilber–Pink para curvas en esquemas abelianos no isotriviales era previamente conocida solo para potencias fibradas de esquemas elípticos (mediante el trabajo de Barroero, Capuano y otros), este resultado amplía el alcance a esquemas abelianos generales.

La significación del trabajo reside en dos áreas:

1. Generalización: Va más allá del entorno específico de los esquemas elípticos hacia esquemas abelianos arbitrarios, lo que requiere un tratamiento más sofisticado de los endomorfismos y las alturas.
2. Explicitud: A diferencia de muchos resultados en este campo que dependen de la existencia de constantes sin valores explícitos, este artículo proporciona cotas explícitas para la altura canónica bajo endomorfismos y para la complejidad aritmética de las relaciones algebraicas relevantes. Este control explícito es un ingrediente clave en la demostración, permitiendo a los autores comparar la cota aritmética inferior (derivada de la existencia del endomorfismo) con la cota geométrica superior (derivada de la estrategia de Pila–Zannier) para concluir la finitud.

Los autores reconocen que el resultado es un caso particular de la conjetura de Zilber–Pink y que las herramientas de trascendencia funcional utilizadas (específicamente los resultados de tipo Ax-Schanuel) actualmente limitan la demostración a la forma establecida, particularmente respecto a las secciones que no son constantes. El trabajo se presenta como una contribución a la comprensión de las intersecciones improbables y la aritmética de las variedades abelianas, construyendo sobre los trabajos fundacionales de Masser, Zannier, Pila y otros.