Unlikely intersections with CM abelian varieties in a family and explicit bounds for canonical heights under endomorphisms

Résumé Technique : Intersections Improbables avec des Variétés Abéliennes à CM dans une Famille et Bornes Explicites pour les Hauteurs Canoniques sous Endomorphismes

Énoncé du Problème
L'article traite d'un cas spécifique de la conjecture de Zilber–Pink concernant les « intersections improbables » au sein de familles de variétés abéliennes. Soit $S$ une courbe lisse et irréductible sur $\mathbb{Q}$ et $\pi: A \to S$ un schéma abélien de dimension relative $g \geq 1$. Les auteurs étudient l'intersection d'une courbe irréductible $C \subset A$ (définie sur $\mathbb{Q}$) avec l'union de tous les sous-groupes algébriques propres des fibres $A_s$ possédant une multiplication complexe (CM).

Des travaux antérieurs par Barroero et Capuano (2020) ont établi que si $C$ n'est pas contenue dans un sous-schéma propre, son intersection avec l'union des sous-schémas algébriques plats de codimension au moins 2 est finie. Cet article étend ce résultat au cas où les intersections se produisent spécifiquement avec les sous-groupes algébriques des fibres à CM. Le théorème principal affirme que si $A \to S$ n'est pas isotriviale et que $C$ n'est pas contenue dans une fibre fixe ou dans un translaté d'un sous-schéma plat propre par une section constante, alors l'ensemble des points $P \in C(\mathbb{C})$ tels que la fibre $A_{\pi(P)}$ possède une CM et que $P$ appartient à un sous-groupe algébrique propre de cette fibre est fini.

Méthodologie
La preuve suit la stratégie de Pila–Zannier, combinant la transcendance fonctionnelle (o-minimalité) avec la géométrie arithmétique. La méthodologie procède selon les étapes suivantes :

1. Réduction à la Famille Universelle : Le problème est réduit au cas où $A$ est la famille universelle des variétés abéliennes principalement polarisées sur une courbe $S \subset \mathcal{A}_g$. Cela implique des changements de base finis et des isogénies pour assurer l'existence d'une polarisation principale et d'une structure de niveau 3, permettant l'utilisation de l'espace de modules fin de $\mathcal{A}_{g,1,3}$.
2. O-minimalité et Définissabilité : En utilisant l'uniformisation de la famille universelle par l'espace de Siegel supérieur $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^g$, les auteurs considèrent le préimage de la courbe $C$. En restreignant à un domaine fondamental de Siegel, ce préimage devient un ensemble définissable dans la structure o-minimale $\mathbb{R}_{an, \exp}$.
3. Comptage de Points : Les auteurs appliquent un théorème de Habegger et Pila pour borner le nombre de points de cet ensemble définissable qui résident sur des sous-variétés algébriques de complexité arithmétique bornée. Cela nécessite d'établir que les relations algébriques définissant les intersections ont une hauteur contrôlée.
4. Bornes Arithmétiques : Le cœur de l'argument arithmétique consiste à dériver des bornes explicites pour la hauteur canonique des points sur $C$ en fonction de la hauteur de Faltings de la fibre et du degré du corps de définition. Crucialement, cela repose sur la construction d'un endomorphisme non nul de la fibre qui s'annule au point $P$.
5. Contrôle Explicite de la Hauteur : Une part importante du travail est dédiée à la détermination de bornes explicites pour la hauteur canonique sous endomorphismes. Les auteurs déterminent des constantes $\gamma_1, \gamma_2$ telles que $\gamma_1 \hat{h}(P) \leq \hat{h}(f(P)) \leq \gamma_2 \hat{h}(P)$, où ces constantes sont dérivées des valeurs propres de la représentation analytique de $f^\dagger f$ (où $\dagger$ est l'involution de Rosati).

Contributions Principales et Résultats

• Théorème Principal (Théorème 1.1) : Prouve la finitude de l'intersection d'une courbe non isotriviale $C$ dans un schéma abélien avec les sous-groupes algébriques propres des fibres à CM, à condition que $C$ ne soit pas contenue dans une fibre fixe ou dans un translaté d'un sous-schéma plat. Cela généralise un résultat précédent de Barroero (2019) des puissances fibrées de schémas elliptiques aux schémas abéliens généraux.
• Bornes Explicites de la Hauteur Canonique (Théorème 1.4 / Théorème 7.3) : L'article établit une inégalité générale pour la hauteur canonique sous endomorphismes :
  $$\alpha_D^-(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P) \leq \hat{h}_{A,D}(f(P)) \leq \alpha_D^+(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P)$$
  Ici, $\alpha_D^\pm(f)$ sont les valeurs propres minimale et maximale de la représentation analytique de $f^\dagger f$. Les auteurs prouvent que ces constantes sont optimales et fournissent des formules explicites pour elles. Ce résultat est d'un intérêt indépendant, généralisant l'identité classique $\hat{h}([n]P) = n^2 \hat{h}(P)$.
• Bornes de Complexité Arithmétique : Les auteurs dérivent des bornes explicites pour la hauteur de la matrice de période et de l'endomorphisme associé à un point $P$ dans l'ensemble d'intersection. Spécifiquement, ils montrent que la norme de Rosati de l'endomorphisme s'annulant en $P$ est bornée par un polynôme en le degré $[k(P):k]$.
• Bornes Matricielles pour les Endomorphismes (Section 5) : L'article fournit des bornes effectives reliant la norme de Rosati d'un endomorphisme à la norme de la sup sur sa matrice de représentation rationnelle, dépendant de la matrice de période et du type de polarisation.

Signification et Revendications
L'article prétend régler la conjecture de Zilber–Pink pour les courbes dans des schémas abéliens non isotriviaux dans le contexte spécifique des intersections avec les fibres à CM. Les auteurs notent que bien que la pleine conjecture de Zilber–Pink pour les courbes dans des schémas abéliens non isotriviaux ne soit auparavant connue que pour les puissances fibrées de schémas elliptiques (via les travaux de Barroero, Capuano et autres), ce résultat étend le champ d'application aux schémas abéliens généraux.

La signification de ce travail réside dans deux domaines :

1. Généralisation : Il dépasse le cadre spécifique des schémas elliptiques pour atteindre les schémas abéliens arbitraires, nécessitant un traitement plus sophistiqué des endomorphismes et des hauteurs.
2. Explicitude : Contrairement à de nombreux résultats dans ce domaine qui reposent sur l'existence de constantes sans valeurs explicites, cet article fournit des bornes explicites pour la hauteur canonique sous endomorphismes et pour la complexité arithmétique des relations algébriques pertinentes. Ce contrôle explicite est un ingrédient clé de la preuve, permettant aux auteurs de comparer la borne arithmétique inférieure (dérivée de l'existence de l'endomorphisme) avec la borne géométrique supérieure (dérivée de la stratégie de Pila–Zannier) pour conclure la finitude.

Les auteurs reconnaissent que le résultat est un cas particulier de la conjecture de Zilber–Pink plus large et que les outils de transcendance fonctionnelle utilisés (spécifiquement les résultats de type Ax-Schanuel) limitent actuellement la preuve à la forme énoncée, particulièrement concernant les sections qui ne sont pas constantes. Le travail est présenté comme une contribution à la compréhension des intersections improbables et de l'arithmétique des variétés abéliennes, s'appuyant sur les travaux fondamentaux de Masser, Zannier, Pila et d'autres.