Unlikely intersections with CM abelian varieties in a family and explicit bounds for canonical heights under endomorphisms

기술 요약: 가계(Family) 내 CM 아벨 다양체와의 희귀한 교차 및 엔도모피즘 하에서의 정준 높이에 대한 명시적 경계

문제 정의
본 논문은 아벨 다양체의 가계 내에서의 "희귀한 교차(unlikely intersections)"에 관한 찔베르-핑크(Zilber–Pink) 추측의 특정 사례를 다룬다. $S$를 $\mathbb{Q}$ 위의 매끄러운 기약 곡선이라 하고, $\pi: A \to S$를 상대 차원이 $g \geq 1$인 아벨 스킴(abelian scheme)이라 하자. 저자들은 기약 곡선 $C \subset A$ ($\mathbb{Q}$ 위에서 정의된)와 CM(Complex Multiplication)을 갖는 모든 진부분 대수적 부분군(proper algebraic subgroups)의 파이버(fiber)들의 합집합 사이의 교차를 조사한다.

Barroero와 Capuano(2020)의 선행 연구는 만약 $C$가 진부분 부분군 스킴(proper subgroup scheme)에 포함되지 않는다면, 코사차(codimension)가 2 이상인 플랫 부분군 스킴(flat subgroup schemes)들과의 교차가 유한함을 입증했다. 본 논문은 이 결과를 교차가 구체적으로 CM 파이버의 대수적 부분군들과 발생하는 경우로 확장한다. 주요 정리에서는 만약 $A \to S$가 비등변성(non-isotrivial)이고 $C$가 고정된 파이버 또는 상수 섹션(constant section)에 의한 진부분 플랫 부분군 스킴의 평행이동에 포함되지 않는다면, 파이버 $A_{\pi(P)}$가 CM을 갖고 $P$가 해당 파이버의 진부분 대수적 부분군에 속하는 점 $P \in C(\mathbb{C})$의 집합은 유한하다고 단언한다.

방법론
증명은 함수적 초월성(o-minimality)과 산술 기하학을 결합한 필라-자니에(Pila–Zannier) 전략을 따른다. 방법론은 다음 단계들로 진행된다:

1. 보편 가계(Universal Family)로의 환원: 문제는 $A$가 $\mathcal{A}_{g,1,3}$라는 파인 모듈라이 공간(fine moduli space)의 사용을 허용하기 위해 유한한 기저 변경(base change)과 이소제니(isogeny)를 거쳐, $S \subset \mathcal{A}_g$ 위의 주 극성(principally polarized) 아벨 다양체의 보편 가계가 되도록 하는 문제로 환원된다.
2. O-minimality 및 정의 가능성(Definability): 실가 힐베르트 상반평면(Siegel upper half-space) $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^g$에 의한 보편 가계의 유니포미제이션(uniformization)을 사용하여, 곡선 $C$의 전치(preimage)를 고려한다. 실가 돔(Siegel fundamental domain)으로 제한함으로써, 이 전치는 o-minimal 구조 $\mathbb{R}_{an, \exp}$ 내에서 정의 가능한 집합(definable set)이 된다.
3. 점 개수 세기(Point Counting): 저자들은 산술적 복잡도가 유계인 대수적 부분 다양체 위에 놓인 이 정의 가능한 집합 위의 점의 개수를 제한하기 위해 Habegger와 Pila의 정리를 적용한다. 이를 위해서는 교차를 정의하는 대수적 관계들이 제어된 높이(height)를 가짐을 확립해야 한다.
4. 산술적 경계: 산술적 논증의 핵심은 파이버의 팔팅 높이(Faltings height)와 정의체의 차수에 대한 점 $P$의 정준 높이(canonical height)에 대한 명시적 경계를 도출하는 것이다. 결정적으로, 이는 점 $P$에서 소멸하는 비영(non-zero) 엔도모피즘을 구성하는 것에 의존한다.
5. 명시적 높이 제어: 상당 부분의 작업은 엔도모피즘 하에서의 정준 높이에 대한 명시적 경계를 제공하는 데 할애되었다. 저자들은 $\gamma_1 \hat{h}(P) \leq \hat{h}(f(P)) \leq \gamma_2 \hat{h}(P)$를 만족하는 상수 $\gamma_1, \gamma_2$를 결정하며, 여기서 이 상수들은 $f^\dagger f$ (여기서 $\dagger$는 로사티 인볼루션(Rosati involution))의 해석적 표현의 고윳값으로부터 유도된다.

주요 기여 및 결과

• 주요 정리 (정리 1.1): 비등변성 곡선 $C$가 고정된 파이버나 플랫 부분군 스킴의 평행이동에 포함되지 않는다는 조건 하에, CM 파이버의 진부분 대수적 부분군과의 교차가 유한함을 증명한다. 이는 Barroero(2019)가 타원 스킴의 파이버 곱(fibered powers)에 대해 수행한 결과를 일반적인 아벨 스킴으로 일반화한 것이다.
• 명시적 정준 높이 경계 (정리 1.4 / 정리 7.3): 엔도모피즘 하에서의 정준 높이에 대한 일반적인 부등식을 확립한다:
  $$\alpha_D^-(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P) \leq \hat{h}_{A,D}(f(P)) \leq \alpha_D^+(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P)$$
  여기서 $\alpha_D^\pm(f)$는 $f^\dagger f$의 해석적 표현의 최소 및 최대 고윳값이다. 저자들은 이 상수들이 최적임을 증명하고 이들을 위한 명시적 공식을 제공한다. 이 결과는 고전적 항등식 $\hat{h}([n]P) = n^2 \hat{h}(P)$를 일반화하며 그 자체로 독립적인 관심 대상이다.
• 산술적 복잡도 경계: 저자들은 점 $P$와 연관된 엔도모피즘과 주기 행렬(period matrix)의 높이에 대한 명시적 경계를 도출한다. 구체적으로, $P$에서 소멸하는 엔도모피즘의 로사티 노름(Rosati norm)이 $[k(P):k]$에 대한 다항식에 의해 유계임을 보인다.
• 엔도모피즘을 위한 행렬 경계 (섹션 5): 논문은 주기 행렬과 극성 유형에 따라 엔도모피즘의 로사티 노름과 그 유리적 표현 행렬의 sup-norm 사이의 관계에 대한 효과적인 경계를 제공한다.

의의 및 주장

본 논문은 비등변성 아벨 스킴 내의 곡선에 대한 찔베르-핑크 추측의 특정 맥락에서 이를 해결한다고 주장한다. 저자들은 비등변성 아벨 스 esquema 내의 곡선에 대한 전체 찔베르-핑크 추측이 이전에는 (Barroero, Capuano 등의 연구를 통해) 타원 스킴의 파이버 곱에 대해서만 알려져 있었다는 점을 언급하며, 본 결과가 그 범위를 일반적인 아벨 스킴으로 확장했음을 밝힌다.

이 연구의 의의는 두 가지 영역에 있다:

1. 일반화: 타원 스킴이라는 특수한 설정을 넘어 임의의 아벨 스킴으로 나아가며, 이를 위해 엔도모피즘과 높이에 대한 더 정교한 처리를 요구한다.
2. 명시성: 상수의 존재만을 이용하는 많은 분야의 결과들과 달리, 본 논문은 엔도모피즘 하에서의 정준 높이와 관련 대수적 관계의 산술적 복잡성에 대해 명시적인 경계를 제공한다. 이러한 명시적 제어는 핵심적인 요소로, 이를 통해 저자들은 (엔도모피즘의 존재로부터 도출된) 산술적 하한과 (Pila-Zannier 전략으로부터 도출된) 기하학적 상한을 비교하여 유한성을 결론지을 수 있다.

저자들은 이 결과가 더 넓은 찔베르-핑크 추측의 특수한 사례임을 인정하며, 사용된 함수적 초월성 도구들(특히 Ax-Schanuel 유형의 결과들)이 현재로서는 (특히 상수가 아닌 섹션들에 대하여) 기술된 형태의 증명으로 제한된다는 점을 밝힌다. 이 연구는 희귀한 교차와 아벨 다양체의 산술에 대한 이해에 대한 기여로서, Masser, Zannier, Pila 등의 기초적인 연구를 바탕으로 제시된다.