Unlikely intersections with CM abelian varieties in a family and explicit bounds for canonical heights under endomorphisms

Technische Samenvatting: Onwaarschijnlijke Intersecties met CM-Abeliaanse Variëteiten in een Familie en Expliciete Grenzen voor Kanonieke Hoogtes onder Endomorfismen

Probleemstelling
Het artikel behandelt een specifieke instantie van de Zilber–Pink-conjectuur betreffende "onwaarschijnlijke intersecties" binnen families van abeliaanse variëteiten. Laat $S$ een gladde irreducibele curve over $\mathbb{Q}$ zijn en $\pi: A \to S$ een abeliaans schema van relatieve dimensie $g \geq 1$. De auteurs onderzoeken de intersectie van een irreducibele curve $C \subset A$ (gedefinieerd over $\mathbb{Q}$) met de vereniging van alle eigenlijke algebraische subgroepen van de vezels $A_s$ die Complex Multiplicatie (CM) bezitten.

Vorig werk door Barroero en Capuano (2020) stelde vast dat als $C$ niet in een eigenlijke subgroup-schema ligt, de intersectie met de vereniging van platte subgroup-schema's van codimensie ten minste 2 eindig is. Dit artikel breidt dat resultaat uit naar het geval waarbij de intersecties specifiek plaatsvinden met de algebraische subgroepen van de CM-vezels. De hoofdstelling stelt dat als $A \to S$ niet isotriviaal is en $C$ niet in een vaste vezel of een translaat van een eigenlijk plat subgroup-schema door een constante sectie ligt, de verzameling punten $P \in C(\mathbb{C})$ zodanig dat de vezel $A_{\pi(P)}$ CM heeft en $P$ in een eigenlijke algebraische subgroep van die vezel ligt, eindig is.

Methodologie
Het bewijs volgt de Pila–Zannier-strategie, waarbij functionele transcendentie (o-minimaliteit) wordt gecombineerd met arithmetische meetkunde. De methodologie verloopt via de volgende fasen:

1. Reductie tot de Universele Familie: Het probleem wordt gereduceerd tot het geval waarbij $A$ de universele familie van principaal gepolariseerde abeliaanse variëteiten over een curve $S \subset \mathcal{A}_g$ is. Dit omvat eindige basisveranderingen en isogenieën om de existentie van een principaal polarisatie en een niveau-3 structuur te waarborgen, wat het gebruik van de fijne moduli-ruimte $\mathcal{A}_{g,1,3}$ mogelijk maakt.
2. O-minimaliteit en Definieerbaarheid: Gebruikmakend van de uniformisering van de universele familie door de Siegel-halve bovenruimte $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^g$, beschouwen de auteurs de voorafbeelding van de curve $C$. Door te beperken tot een Siegel-fundamenteel domein, wordt deze voorafbeelding een definieerbare verzameling in de o-minimale structuur $\mathbb{R}_{an, \exp}$.
3. Puntentelling: De auteurs passen een stelling van Habegger en Pila toe om het aantal punten op deze definieerbare verzameling te begrenzen die liggen op algebraische subvariëteiten van begrensde arithmetische complexiteit. Dit vereist het vaststellen dat de algebraische relaties die de intersecties definiëren een gecontroleerde hoogte hebben.
4. Arithmetische Grenzen: De kern van het arithmetische argument betreft het afleiden van expliciete grenzen voor de kanonieke hoogte van punten op $C$ in termen van de Faltings-hoogte van de vezel en de graad van het definitieveld. Cruciaal is hierbij het construeren van een niet-nul endomorfisme van de vezel dat in het punt $P$ verdwijnt.
5. Expliciete Hoogtecontrole: Een aanzienlijk deel van het werk is gewijd aan het leveren van expliciete grenzen voor de kanonieke hoogte onder endomorfismen. De auteurs bepalen constanten $\gamma_1, \gamma_2$ waarvoor $\gamma_1 \hat{h}(P) \leq \hat{h}(f(P)) \leq \gamma_2 \hat{h}(P)$, waarbij deze constanten worden afgeleid van de eigenwaarden van de analytische representatie van $f^\dagger f$ (waarbij $\dagger$ de Rosati-involutie is).

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Hoofdstelling (Theorem 1.1): Bewijst de eindigheid van de intersectie van een niet-isotriviale curve $C$ in een abels schema met de eigenlijke algebraische subgroepen van CM-vezels, mits $C$ niet in een vaste vezel of een translaat van een plat subgroup-schema ligt. Dit generaliseert een eerder resultaat van Barroero (2019) van gefibreerde machtsverheffingen van elliptische schema's naar algemene abelse schema's.
• Expliciete Grenzen voor Kanonieke Hoogte (Theorem 1.4 / Theorem 7.3): Het artikel stelt een algemene ongelijkheid vast voor de kanonieke hoogte onder endomorfismen:
  $$\alpha_D^-(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P) \leq \hat{h}_{A,D}(f(P)) \leq \alpha_D^+(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P)$$
  Hierbij zijn $\alpha_D^\pm(f)$ de minimale en maximale eigenwaarden van de analytische representatie van $f^\dagger f$. De auteurs bewijzen dat deze constanten optimaal zijn en bieden expliciete formules voor hen. Dit resultaat is van onafhankelijke interesse en generaliseert de klassieke identiteit $\hat{h}([n]P) = n^2 \hat{h}(P)$.
• Grenzen voor Arithmetische Complexiteit: De auteurs leiden expliciete grenzen af voor de hoogte van de periodenmatrix en het endomorfisme geassocieerd met een punt $P$ in de intersectieverzameling. Specifiek tonen zij aan dat de Rosati-norm van het endomorfisme dat in $P$ verdwijnt, begrensd is door een polynoom in de graad $[k(P):k]$.
• Matrixgrenzen voor Endomorfismen (Section 5): Het artikel biedt effectieve grenzen die de Rosati-norm van een endomorfisme relateren aan de sup-norm van zijn rationale representatiematrix, afhankelijk van de periodenmatrix en het polarisatietype.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de Zilber–Pink-conjectuur voor curven in niet-isotriviale abelse schema's te hebben beslecht in de specifieke context van intersecties met CM-vezels. De auteurs merken op dat hoewel de volledige Zilber–Pink-conjectuur voor curven in niet-isotriviale abelse schema's voorheen alleen bekend was voor gefibreerde machtsverheffingen van elliptische schema's (via werk van Barroero, Capuano en anderen), dit resultaat de reikwijdte uitbreidt naar algemene abelse schema's.

De betekenis van het werk ligt in twee gebieden:

1. Generalisatie: Het gaat verder dan de specifieke setting van elliptische schema's naar willekeurige abelse schema's, wat een meer geavanceerde behandeling van endomorfismen en hoogtes vereist.
2. Expliciteit: In tegenstelling tot veel resultaten in dit veld die vertrouwen op de existentie van constanten zonder expliciete waarden, biedt dit artikel expliciete grenzen voor de kanonieke hoogte onder endomorfismen en voor de arithmetische complexiteit van de relevante algebraische relaties. Deze expliciete controle is een cruciaal ingrediënt in het bewijs, waardoor de auteurs de arithmetische ondergrens (afgeleid van de existentie van het endomorfisme) kunnen vergelijken met de geometrische bovengrens (afgeleid van de Pila–Zannier-strategie) om tot de conclusie van eindigheid te komen.

De auteurs erkennen dat het resultaat een specifiek geval is van de bredere Zilber–Pink-conjectuur en dat de gebruikte instrumenten voor functionele transcendentie (met name de Ax-Schanuel-type resultaten) de bewijsvoering momenteel beperken tot de geformuleerde vorm, met name met betrekking tot secties die niet constant zijn. Het werk wordt gepresenteerd als een bijdrage aan het begrip van onwaarschijnlijke intersecties en de arithmetica van abelse variëteiten, voortbouwend op de fundamentele werken van Masser, Zannier, Pila en anderen.