Unlikely intersections with CM abelian varieties in a family and explicit bounds for canonical heights under endomorphisms

Sintesi Tecnica: Intersezioni Improbabili con Varietà Abeliane CM in una Famiglia e Limiti Espliciti per le Altezse Canoniche sotto Endomorfismi

Enunciato del Problema
Il saggio affronta un caso specifico della congettura di Zilber–Pink riguardante le "intersezioni improbabili" all'interno di famiglie di varietà abeliane. Sia $S$ una curva irriducibile liscia su $\mathbb{Q}$ e $\pi: A \to S$ uno schema abeliano di dimensione relativa $g \geq 1$. Gli autori investigano l'intersezione di una curva irriducibile $C \subset A$ (definita su $\mathbb{Q}$) con l'unione di tutti i sottogruppi algebrici propri delle fibre $A_s$ che possiedono Moltiplicazione Complessa (CM).

Il lavoro precedente di Barroero e Capuano (2020) ha stabilito che, se $C$ non è contenuta in un sottogruppo proprio, la sua intersezione con l'unione dei sottogruppi piatti di codimensione almeno 2 è finita. Questo saggio estende tale risultato al caso in cui le intersezioni avvengono specificamente con i sottogruppi algebrici delle fibre CM. Il teorema principale afferma che, se $A \to S$ non è isotriviale e $C$ non è contenuta in una fibra fissa o in un traslato di un sottogruppo piatto proprio tramite una sezione costante, allora l'insieme dei punti $P \in C(\mathbb{C})$ tali che la fibra $A_{\pi(P)}$ abbia CM e $P$ giaccia in un sottogruppo algebrico proprio di tale fibra è finito.

Metodologia
La dimostrazione segue la strategia Pila–Zannier, combinando la trascendenza funzionale (o-minimalità) con la geometria aritmetica. La metodologia procede attraverso le seguenti fasi:

1. Riduzione alla Famiglia Universale: Il problema viene ridotto al caso in cui $A$ è la famiglia universale di varietà abeliane principalmente polarizzate su una curva $S \subset \mathcal{A}_g$. Ciò comporta cambiamenti di base finiti e isogenie per garantire l'esistenza di una polarizzazione principale e di una struttura di livello 3, permettendo l'uso dello spazio moduli fine $\mathcal{A}_{g,1,3}$.
2. O-minimalità e Definibilità: Utilizzando l'uniformizzazione della famiglia universale tramite lo spazio semispazio di Siegel $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^g$, gli autori considerano il preimmagine della curva $C$. Limitando il preimmagine a un dominio fondamentale di Siegel, esso diventa un insieme definibile nella struttura o-minima $\mathbb{R}_{an, \exp}$.
3. Conteggio dei Punti: Gli autori applicano un teorema di Habegger e Pila per limitare il numero di punti su questo insieme definibile che giacciono su sottovarietà algebriche di complessità aritmetica limitata. Ciò richiede di stabilire che le relazioni algebriche che definiscono le intersezioni abbiano un'altezza controllata.
4. Limiti Aritmetici: Il nucleo dell'argomento aritmetico consiste nel derivare limiti espliciti per l'altezza canonica dei punti su $C$ in termini dell'altezza di Faltings della fibra e del grado del campo di definizione. Fondamentalmente, ciò si basa sulla costruzione di un endomorfismo non nullo della fibra che si annulla nel punto $P$.
5. Controllo Esplicito dell'Altezza: Una parte significativa del lavoro è dedicata alla determinazione di limiti espliciti per l'altezza canonica sotto endomorfismi: gli autori determinano costanti $\gamma_1, \gamma_2$ tali che $\gamma_1 \hat{h}(P) \leq \hat{h}(f(P)) \leq \gamma_2 \hat{h}(P)$, dove queste costanti sono derivate dagli autovalori della rappresentazione analitica di $f^\dagger f$ (dove $\dagger$ è l'inviluppo di Rosati).

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema Principale (Teorema 1.1): Dimostra la finitezza dell'intersezione di una curva non isotriviale $C$ in uno schema abeliano con i sottogruppi algebrici propri delle fibre CM, a condizione che $C$ non sia contenuta in una fibra fissa o in un traslato di un sottogruppo piatto. Questo generalizza un risultato precedente di Barroero (2019) dalle potenze fibrate di schemi ellittici a varietà abeliane generali.
• Limiti Espliciti dell'Altezza Canonica (Teorema 1.4 / Teorema 7.3): Il saggio stabilisce una disuguaglianza generale per l'altezza canonica sotto endomorfismi:
  $$\alpha_D^-(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P) \leq \hat{h}_{A,D}(f(P)) \leq \alpha_D^+(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P)$$
  Qui, $\alpha_D^\pm(f)$ sono gli autovalori minimo e massimo della rappresentazione analitica di $f^\dagger f$. Gli autori dimostrano che queste costanti sono ottimali e forniscono formule esplicite per esse. Questo risultato è di interesse indipendente, generalizzando l'identità classica $\hat{h}([n]P) = n^2 \hat{h}(P)$.
• Limiti della Complessità Aritmetica: Gli autori derivano limiti espliciti per l'altezza della matrice dei periodi e dell'endomorfismo associato a un punto $P$ nell'insieme di intersezione. Nello specifico, mostrano che la norma di Rosati dell'endomorfismo che si annulla in $P$ è limitata da un polinomio nel grado $[k(P):k]$.
• Limiti Matriciali per gli Endomorfismi (Sezione 5): Il saggio fornisce limiti effettivi che mettono in relazione la norma di Rosati di un endomorfismo con la norma del sup della sua matrice di rappresentazione razionale, a seconda della matrice dei periodi e del tipo di polarizzazione.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di risolvere la congettura di Zilber–Pink per curve in schemi abeliani non isotriviali nel contesto specifico delle intersezioni con fibre CM. Gli autori osservano che, sebbene la piena congettura di Zilber–Pink per curve in schemi abeliani non isotriviali fosse precedentemente nota solo per le potenze fibrate di schemi ellittici (tramite il lavoro di Barroero, Capuano e altri), questo risultato estende l'ambito a varietà abeliane generali.

La significatività del lavoro risiede in due aree:

1. Generalizzazione: Si va oltre l'ambito specifico degli schemi ellittici verso schemi abeliani arbitrari, richiedendo un trattamento più sofisticato di endomorfismi e altezse.
2. Esplicitezza: A differenza di molti risultati nel campo che si basano sull'esistenza di costanti senza valori espliciti, questo saggio fornisce limiti espliciti per l'altezza canonica sotto endomorfismi e per la complessità aritmetica delle relative relazioni algebriche. Questo controllo esplicito è un ingrediente chiave della dimostrazione, permettendo agli autori di confrontare il limite inferiore aritmetico (derivato dall'esistenza dell'endomorfismo) con il limite superiore geometrico (derivato dalla strategia Pila–Zannier) per concludere la finitezza.

Gli autori riconoscono che il risultato è un caso particolare della più ampia congettura di Zilber–Pink e che gli strumenti di trascendenza funzionale utilizzati (specificamente i risultati di tipo Ax-Schanuel) limitano attualmente la dimostrazione alla forma enunciata, in particolare riguardo alle sezioni che non sono costanti. Il lavoro è presentato come un contributo alla comprensione delle intersezioni improbabili e dell'aritmetica delle varietà abeliane, costruendosi sulle opere fondamentali di Masser, Zannier, Pila e altri.