Unlikely intersections with CM abelian varieties in a family and explicit bounds for canonical heights under endomorphisms

Resumo Técnico: Interseções Improváveis com Variedades Abelianas de CM em uma Família e Limites Explícitos para Alturas Canônicas sob Endomorfismos

Enunciado do Problema
O artigo aborda um caso específico da conjectura de Zilber–Pink referente a "interseções improváveis" dentro de famílias de variedades abelianas. Seja $S$ uma curva suave e irredutível sobre $\mathbb{Q}$ e $\pi: A \to S$ um esquema abeliano de dimensão relativa $g \geq 1$. Os autores investigam a interseção de uma curva irredutível $C \subset A$ (definida sobre $\mathbb{Q}$) com a união de todos os subgrupos algébricos próprios das fibras $A_s$ que possuem Multiplicação Complexa (CM).

Trabalhos anteriores de Barroero e Capuano (2020) estabeleceram que, se $C$ não estiver contida em um subgrupo esquema próprio, sua interseção com a união de subgrupos esquemas planos de cofimension pelo menos 2 é finita. Este artigo estende esse resultado para o caso em que as interseções ocorrem com os subgrupos algébricos das fibras de CM especificamente. O teorema principal afirma que, se $A \to S$ não é isotrivial e $C$ não está contida em uma fibra fixa ou em um translado de um subgrupo plano por uma seção constante, então o conjunto de pontos $P \in C(\mathbb{C})$ tal que a fibra $A_{\pi(P)}$ possui CM e $P$ reside em um subgrupo algébrico próprio dessa fibra é finito.

Metodologia
A prova segue a estratégia de Pila–Zannier, combinando transcendência funcional (o-minimalidade) com geometria aritmética. A metodologia procede através dos seguintes estágios:

1. Redução à Família Universal: O problema é reduzido ao caso em que $A$ é a família universal de variedades abelianas principalmente polarizadas sobre uma curva $S \subset \mathcal{A}_g$. Isso envolve mudanças de base finitas e isogenias para garantir a existência de uma polarização principal e uma estrutura de nível 3, permitindo o uso do espaço moduli fino $\mathcal{A}_{g,1,3}$.
2. O-minimalidade e Definibilidade: Utilizando a uniformização da família universal pelo semi-espaço de Siegel $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^g$, os autores consideram o pré-imagem da curva $C$. Ao restringir a um domínio fundamental de Siegel, este pré-imagem torna-se um conjunto definível na estrutura o-minimal $\mathbb{R}_{an, \exp}$.
3. Contagem de Pontos: Os autores aplicam um teorema de Habegger e Pila para limitar o número de pontos neste conjunto definível que residem em variedades algébricas de complexidade aritmética limitada. Isso requer estabelecer que as relações algébricas que definem as interseções possuem altura controlada.
4. Limites Aritméticos: O núcleo do argumento aritmético envolve derivar limites explícitos para a altura canônica de pontos em $C$ em termos da altura de Faltings da fibra e do grau do corpo de definição. Crucialmente, isso depende da construção de um endomorfismo não nulo da fibra que se anula no ponto $P$.
5. Controle Explícito de Altura: Uma parte significativa do trabalho é dedicada a fornecer limites explícitos para a altura canônica sob endomorfismos. Os autores determinam constantes $\gamma_1, \gamma_2$ tais que $\gamma_1 \hat{h}(P) \leq \hat{h}(f(P)) \leq \gamma_2 \hat{h}(P)$, onde estas constantes são derivadas dos autovalores da representação analítica de $f^\dagger f$ (onde $\dagger$ é a involução de Rosati).

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema Principal (Teorema 1.1): Prova a finitude da interseção de uma curva não-isotrivial $C$ em um esquema abeliano com os subgrupos algébricos próprios das fibras de CM, desde que $C$ não esteja contida em uma fibra fixa ou em um translado de um subgrupo plano. Isso generaliza um resultado anterior de Barroero (2019) de potências fibradas de esquemas elípticos para esquemas abelianos gerais.
• Limites Explícitos de Altura Canônica (Teorema 1.4 / Teorema 7.3): O artigo estabelece uma desigualdade geral para a altura canônica sob endomorfismos:
  $$\alpha_D^-(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P) \leq \hat{h}_{A,D}(f(P)) \leq \alpha_D^+(f) \cdot \hat{h}_{A,D}(P)$$
  Aqui, $\alpha_D^\pm(f)$ são os autovalores mínimo e máximo da representação analítica de $f^\dagger f$. Os autores provam que estas constantes são ótimas e fornecem fórmulas explícitas para elas. Este resultado é de interesse independente, generalizando a identidade clássica $\hat{h}([n]P) = n^2 \hat{h}(P)$.
• Limites de Complexidade Aritmética: Os autores derivam limites explícitos para a altura da matriz de período e do endomorfismo associado a um ponto $P$ na interseção. Especificamente, eles mostram que a norma de Rosati do endomorfismo que se anula em $P$ é limitada por um polinômio no grau $[k(P):k]$.
• Limites de Matriz para Endomorfismos (Seção 5): O artigo fornece limites efetivos relacionando a norma de Rosati de um endomorfismo à norma sup de sua matriz de representação racional, dependendo da matriz de período e do tipo de polarização.

Significância e Alegações
O artigo afirma resolver a conjectura de Zilber–Pink para curvas em esquemas abelianos não-isotriviais no contexto específico de interseções com fibras de CM. Os autores observam que, embora a conjectura de Zilber–Pink completa para curvas em esquemas abelianos não-isotriviais fosse anteriormente conhecida apenas para potências fibradas de esquemas elípticos (via trabalho de Barroero, Capuano e outros), este resultado expande o escopo para esquemas abelianos gerais.

A significância do trabalho reside em duas áreas:

1. Generalização: Ele vai além do cenário específico de esquemas elípticos para esquemas abelianos arbitrários, exigindo um tratamento mais sofisticado de endomorfismos e alturas.
2. Explicitude: Diferente de muitos resultados no campo que dependem da existência de constantes sem valores explícitos, este artigo fornece limites explícitos para a altura canônica sob endomorfismos e para a complexidade aritmética das relações algébricas relevantes. Este controle explícito é um ingrediente fundamental da prova, permitindo que os autores comparem o limite aritmético inferior (derivado da existência do endomorfismo) com o limite geométrico superior (derivado da estratégia de Pila–Zannier) para concluir a finitude.

Os autores reconhecem que o resultado é um caso particular da conjectra de Zilber–Pink mais ampla e que as ferramentas de transcendência funcional utilizadas (especificamente resultados do tipo Ax-Schanuel) atualmente limitam a prova à forma declarada, particularmente em relação a seções que não são constantes. O trabalho é apresentado como uma contribuição para a compreensão das interseções improváveis e da aritmética de variedades abelianas, construindo sobre os trabalhos fundamentais de Masser, Zannier, Pila e outros.