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A fixed point iteration method for the arctangent with any odd order of convergence based on sine and cosine

Dieser Beitrag stellt ein Fixpunkt-Iterationsverfahren zur Berechnung der Arcustangens-Funktion vor, das durch die Verwendung einer spezifischen Summation von Sinus- und Kosinus-Termen jede gewünschte ungerade Konvergenzordnung $(2P+1)$ erreicht.

Ursprüngliche Autoren: Alois Schiessl

Veröffentlicht 2026-05-11

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Alois Schiessl

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, den genauen Standort eines versteckten Schatzes (den Wert eines Winkels namens arctan) auf einer Karte zu finden. Normalerweise verwenden Mathematiker eine lange, langsame Liste von Zahlen (eine Reihe), um dem Schatz immer näher zu kommen. Je mehr Zahlen Sie hinzufügen, desto näher kommen Sie, aber es kann lange dauern.

Dieser Artikel stellt eine neue, superschnelle „Schatzsuche"-Methode vor. Anstatt schrittweise voranzukommen, nutzt diese Methode einen speziellen magischen Kompass (eine mathematische Formel mit Sinus und Kosinus), der Sie nicht nur in die richtige Richtung weist, sondern Sie mit jedem einzelnen Sprung erheblich näher zum Ziel teleportiert.

Hier ist die Aufschlüsselung, wie dieser „magische Kompass" funktioniert, unter Verwendung einfacher Analogien:

1. Der magische Kompass (Die Formel)

Der Autor, Alois Schiessl, hat eine spezielle Funktion namens T(x) erstellt. Stellen Sie sich dies als eine Maschine vor, in die Sie einen Schätzwert für den Winkel eingeben, und die einen viel besseren Schätzwert ausgibt.

Die Maschine sieht kompliziert aus, aber ihre Aufgabe ist einfach:

Sie nimmt Ihren aktuellen Schätzwert ( $x$ ).
Sie vergleicht Ihren Schätzwert mit dem Ziel mithilfe eines „Differenzmessers", der aus Sinus- und Kosinuswellen besteht.
Sie subtrahiert einen bestimmten Fehlerbetrag von Ihrem Schätzwert, um den nächsten zu erhalten.

Das Geheimnis ist eine Variable namens P. Sie können an dieser Maschine einen Regler drehen, um P auf jede beliebige ganze Zahl einzustellen (1, 2, 3 usw.).

Wenn Sie P = 1 einstellen, ist die Maschine sehr schnell (sie springt jedes Mal dreimal näher).
Wenn Sie P = 2 einstellen, ist sie noch schneller (fünfmal näher).
Wenn Sie P = 10 einstellen, ist sie unglaublich schnell (21-mal näher).

Der Artikel beweist mathematisch, dass die Maschine unabhängig davon, welche Zahl Sie für P wählen, immer zur exakten Antwort konvergiert und die Konvergenzgeschwindigkeit immer eine ungerade Zahl ( $2P + 1$ ) ist.

2. Der „selbstkorrigierende" Sprung

Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, ein Flugzeug auf einer Landebahn zu landen.

Alte Methoden sind wie ein Pilot, der jede Sekunde winzige, sanfte Korrekturen vornimmt. Es ist sicher, aber langsam.
Diese neue Methode ist wie ein Pilot, der jedes Mal, wenn er die Instrumente überprüft, genau erkennt, wie weit er danebenliegt, und eine massive, präzise Korrektur vornimmt, die ihn 5-, 10- oder sogar 20-mal näher an die Landebahn bringt als zuvor.

Der Artikel beweist, dass wenn Ihr Startpunkt „nah genug" am Ziel liegt, diese Methode niemals danebenliegt. Sie garantiert, dass der Fehler so dramatisch schrumpft, dass Sie mit extremer Präzision in sehr wenigen Schritten das Ziel erreichen.

3. Der ultimative Test: Berechnung von Pi

Um zu beweisen, dass diese Methode in der realen Welt funktioniert, verwendete der Autor sie zur Berechnung von $\pi/4$ (was dem Winkel 45 Grad oder $\arctan(1)$ entspricht).

Das Ziel: Berechnung einer Million Stellen von $\pi/4$ .
Die Strategie:
1. Nah beginnen: Sie starteten nicht bei null. Sie begannen mit einem Schätzwert, der bereits auf 14 Stellen genau war.
2. Den Regler drehen: Sie stellten die Maschine auf P = 2. Das bedeutet, dass sich mit jedem Schritt die Anzahl der korrekten Stellen um den Faktor 5 multipliziert.
3. Der Lauf:
  - Schritt 1: Sie berechneten mit 70 Stellen Genauigkeit. Der Fehler sank massiv.
  - Schritt 2: Sie erhöhten die Genauigkeit auf 350 Stellen. Der Fehler sank noch weiter.
  - Schritt 3 bis 7: Mit jedem Schritt explodierte die Anzahl der korrekten Stellen (350 $\to$ 1.750 $\to$ 8.750 und so weiter).
  - Schritt 8: Nach nur 8 Sprüngen hatten sie über eine Million Stellen von $\pi/4$ berechnet.

4. Warum dies wichtig ist (laut dem Artikel)

Der Artikel behauptet, dies sei ein hocheffizienter Weg zur Berechnung von Winkeln.

Geschwindigkeit: Da sich die Anzahl der korrekten Stellen mit jedem einzelnen Schritt um den Faktor 5 (oder mehr) multipliziert, benötigen Sie keine Tausende von Berechnungen. Sie benötigen nur eine Handvoll.
Flexibilität: Sie können wählen, wie schnell Sie gehen möchten, indem Sie die Zahl P ändern.
Einfachheit: Sobald Sie die Formel haben, wiederholen Sie einfach dieselbe Berechnung immer wieder, und der Computer übernimmt die schwere Arbeit.

Zusammenfassend: Der Artikel präsentiert einen mathematischen „Turbo-Boost" zur Findung von Winkeln. Anstatt sich schrittweise der Antwort zu nähern, ermöglicht diese Methode Ihnen, dorthin zu springen und Ihre Genauigkeit mit jedem einzelnen Sprung zu verdoppeln (oder zu verfünffachen oder mehr). Der Autor demonstrierte dies, indem er mit einem Standard-Heimcomputer in nur acht Schritten eine Million Stellen von $\pi/4$ berechnete.

Technische Zusammenfassung: Eine Fixpunkt-Iterationsmethode für den Arkustangens mit beliebiger ungerader Konvergenzordnung

Problemstellung
Der Artikel behandelt die rechnerische Herausforderung der Berechnung der Arkustangens-Funktion, $\arctan(t)$ , für $t \in \mathbb{R}^+$ . Während die Standard-Potenzreihenentwicklung für $\arctan(u)$ für $|u| < 1$ konvergiert, erfordert das Erreichen hoher Präzision oft eine große Anzahl von Termen oder spezifische Transformationen. Der Autor sucht nach einer Fixpunkt-Iterationsmethode, die eine beliebige ungerade Konvergenzordnung erreichen kann und damit die Geschwindigkeit beschleunigt, mit der die korrekten Ziffern des Ergebnisses gewonnen werden.

Methodik
Der Kern der vorgeschlagenen Methode ist eine Fixpunktfunktion $T(x)$ , die aus der abgeschnittenen Potenzreihe des Arkustangens abgeleitet wird. Der Autor definiert eine Substitutionsvariable $u$ basierend auf trigonometrischen Identitäten:
$u = \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)}$
Durch Einsetzen dieses $u$ in die ersten $P$ Terme der Potenzreihe von $\arctan(u)$ konstruiert der Autor die Iterationsfunktion:
$T(x) = x - \sum_{k=1}^{P} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} \left( \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)} \right)^{2k-1}$
Die Iteration erfolgt über $x_{n+1} = T(x_n)$ .

Der Artikel liefert einen rigorosen mathematischen Beweis für die Eigenschaften dieser Funktion:

Fixpunkteigenschaft: Es wird bewiesen, dass $T(\arctan(t)) = \arctan(t)$ gilt. Dies beruht auf der Tatsache, dass der Substitutionsterm null wird, wenn $x = \arctan(t)$ .
Ableitungsanalyse: Der Autor zeigt, dass am Fixpunkt die ersten $2P$ Ableitungen von $T(x)$ verschwinden ( $T^{(k)}(\arctan(t)) = 0$ für $0 \le k \le 2P$ ). Die $(2P+1)$ -te Ableitung ist ungleich null und entspricht $(-1)^P (2P)!$ .
Konvergenzbeweis: Unter Verwendung des Fixpunktsatzes von Banach stellt der Artikel fest, dass für einen Anfangswert $x_0$ , der hinreichend nahe an $\arctan(t)$ liegt, die Folge konvergiert.
Konvergenzordnung: Basierend auf den verschwindenden Ableitungen zeigt die Taylor-Entwicklung des Fehlers, dass die Methode mit einer Ordnung von exakt $2P + 1$ konvergiert.

Hauptbeiträge und Ergebnisse

Beliebige ungerade Ordnung: Der Hauptbeitrag ist ein einheitliches Rahmenwerk, das dem Benutzer ermöglicht, eine beliebige natürliche Zahl $P$ zu wählen, um eine spezifische ungerade Konvergenzordnung ( $3, 5, 7, \dots$ ) zu erreichen.
Anwendung auf $\pi$ : Die Methode wird auf Machin-ähnliche Formeln für $\pi/4$ , speziell $\pi/4 = \arctan(1)$ , angewendet. Der Artikel erläutert, wie sich die Iterationsformel für rationale Argumente $t = 1/q$ vereinfacht.
Berechnung mit hoher Präzision: Der Autor stellt ein praktisches Rechenerperiment vor, um eine Million Ziffern von $\pi/4$ $π /4$ zu berechnen.
- Konfiguration: Das Experiment verwendete $P=2$ , was eine Konvergenzordnung von 5 (quintische Konvergenz) ergibt.
- Strategie: Um die Leistung zu optimieren, wandte der Autor eine „Schritt-haltende" Präzisionsstrategie an. Anstatt alle Iterationen mit voller Präzision zu berechnen, wurde die Anzahl der signifikanten Ziffern in jedem Schritt geometrisch ( $14 \times 5^n$ ) erhöht, passend zum erwarteten Wachstum der korrekten Ziffern.
- Ergebnis: Ausgehend von einer 14-stelligen Näherung erreichte die Methode in nur 8 Iterationen eine Genauigkeit von mehr als einer Million Ziffern. Die im Experiment beobachteten Fehlerreduktionsfaktoren bestätigten die theoretische Konvergenzordnung.

Bedeutung und Behauptungen
Der Artikel behauptet, dass diese Methode eine effiziente Alternative für die Berechnung des Arkustangens und damit von $\pi$ mit hoher Präzision bietet. Die Bedeutung liegt in der Fähigkeit, die Konvergenzordnung über den Parameter $P$ anzupassen, ohne die fundamentale Struktur des Algorithmus zu ändern. Der Autor weist darauf hin, dass die Methode selbstkorrigierend ist und, kombiniert mit einer schnellen Auswertung trigonometrischer Funktionen (z. B. über Taylor-Reihen oder andere Algorithmen), die Berechnung von $\arctan(t)$ mit „unbegrenzter Präzision" ermöglicht, sofern ausreichende Rechenressourcen vorhanden sind. Die Arbeit wird als Demonstration der Effizienz präsentiert, validiert durch die erfolgreiche Berechnung von $\pi/4$ auf mehr als eine Million Dezimalstellen unter Verwendung von Standardhardware und Computer-Algebra-Software (Maple).

1. Der magische Kompass (Die Formel)

2. Der „selbstkorrigierende" Sprung

3. Der ultimative Test: Berechnung von Pi

4. Warum dies wichtig ist (laut dem Artikel)

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