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A fixed point iteration method for the arctangent with any odd order of convergence based on sine and cosine

Cet article présente une méthode d'itération de point fixe pour le calcul de la fonction arc tangente qui atteint tout ordre de convergence impair souhaité $(2P+1)$ en exploitant une somme spécifique de termes sinus et cosinus.

Auteurs originaux : Alois Schiessl

Publié 2026-05-11

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Alois Schiessl

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous essayez de trouver l'emplacement exact d'un trésor caché (la valeur d'un angle appelé arctan) sur une carte. Habituellement, les mathématiciens utilisent une longue et lente liste de nombres (une série) pour se rapprocher de plus en plus du trésor. Plus vous ajoutez de nombres, plus vous vous rapprochez, mais cela peut prendre beaucoup de temps.

Ce papier présente une nouvelle méthode de « chasse au trésor » ultra-rapide. Au lieu de marcher pas à pas, cette méthode utilise une boussole magique spéciale (une formule mathématique impliquant le sinus et le cosinus) qui ne se contente pas de vous indiquer la bonne direction ; elle vous téléporte significativement plus près de la cible à chaque saut.

Voici le détail du fonctionnement de cette « boussole magique », en utilisant des analogies simples :

1. La Boussole Magique (La Formule)

L'auteur, Alois Schiessl, a créé une fonction spéciale appelée T(x). Imaginez cela comme une machine où vous insérez une estimation de l'angle, et elle produit une estimation bien meilleure.

La machine semble compliquée, mais sa tâche est simple :

Elle prend votre estimation actuelle ( $x$ ).
Elle compare votre estimation à la cible à l'aide d'un « compteur de différence » fait d'ondes sinus et cosinus.
Elle soustrait une quantité spécifique d'erreur de votre estimation pour vous donner la suivante.

L'ingrédient secret est une variable appelée P. Vous pouvez tourner un cadran sur cette machine pour régler P sur n'importe quel nombre entier que vous souhaitez (1, 2, 3, etc.).

Si vous réglez P = 1, la machine est très rapide (elle saute trois fois plus près à chaque fois).
Si vous réglez P = 2, elle est encore plus rapide (cinq fois plus près).
Si vous réglez P = 10, elle est incroyablement rapide (vingt et une fois plus près).

Le papier démontre mathématiquement que peu importe le nombre que vous choisissez pour P, la machine convergera toujours vers la réponse exacte, et la vitesse de convergence sera toujours un nombre impair ( $2P + 1$ ).

2. Le Saut « Auto-Correcteur »

Imaginez que vous essayez d'atterrir avec un avion sur une piste.

Les anciennes méthodes sont comme un pilote qui fait de minuscules ajustements doux chaque seconde. C'est sûr, mais lent.
Cette nouvelle méthode est comme un pilote qui, à chaque fois qu'il vérifie les instruments, réalise exactement de combien il est décalé et effectue une correction massive et précise qui l'approche de la piste 5, 10, voire 20 fois plus que précédemment.

Le papier démontre que si votre point de départ est « suffisamment proche » de la cible, cette méthode ne manquera jamais. Elle garantit que l'erreur rétrécit de manière si dramatique que vous atteignez la cible avec une extrême précision en très peu d'étapes.

3. Le Test Ultime : Calculer Pi

Pour prouver que cette méthode fonctionne dans le monde réel, l'auteur l'a utilisée pour calculer $\pi/4$ (qui est le même que l'angle de 45 degrés, ou $\arctan(1)$ ).

L'Objectif : Calculer un million de chiffres de $\pi/4$ .
La Stratégie :
1. Commencer Proche : Ils n'ont pas commencé à partir de zéro. Ils ont commencé avec une estimation déjà précise à 14 chiffres.
2. Tourner le Cadran : Ils ont réglé la machine sur P = 2. Cela signifie que chaque étape multiplie le nombre de chiffres corrects par 5.
3. La Course :
  - Étape 1 : Ils ont calculé avec une précision de 70 chiffres. L'erreur a chuté massivement.
  - Étape 2 : Ils ont augmenté la précision à 350 chiffres. L'erreur a encore plus chuté.
  - Étape 3 à 7 : À chaque étape, le nombre de chiffres corrects a explosé (350 $\to$ 1 750 $\to$ 8 750, et ainsi de suite).
  - Étape 8 : Après seulement 8 sauts, ils avaient calculé plus d'un million de chiffres de $\pi/4$ .

4. Pourquoi Cela Compte (Selon le Papier)

Le papier affirme qu'il s'agit d'un moyen très efficace de calculer des angles.

Vitesse : Parce que le nombre de chiffres corrects est multiplié par 5 (ou plus) à chaque étape unique, vous n'avez pas besoin de milliers de calculs. Vous n'en avez besoin que d'une poignée.
Flexibilité : Vous pouvez choisir la vitesse à laquelle vous voulez aller en changeant le nombre P.
Simplicité : Une fois que vous avez la formule, vous répétez simplement le même calcul encore et encore, et l'ordinateur fait le gros œuvre.

En résumé : Le papier présente un « turbo-boost » mathématique pour trouver des angles. Au lieu de s'approcher de la réponse pas à pas, cette méthode vous permet de faire des bonds vers elle, doublant (ou quintuplant, ou plus) votre précision à chaque saut unique. L'auteur a démontré cela en calculant un million de chiffres de $\pi/4$ en seulement huit étapes en utilisant un ordinateur domestique standard.

Résumé Technique : Une Méthode d'Itération de Point Fixe pour l'Arctangente avec un Ordre de Convergence Arbitraire Impair

Énoncé du Problème
L'article aborde le défi computationnel du calcul de la fonction arctangente, $\arctan(t)$ , pour $t \in \mathbb{R}^+$ . Bien que le développement en série entière standard pour $\arctan(u)$ converge pour $|u| < 1$ , atteindre une haute précision nécessite souvent un grand nombre de termes ou des transformations spécifiques. L'auteur cherche une méthode d'itération de point fixe capable d'atteindre un ordre de convergence impair arbitraire, accélérant ainsi la vitesse à laquelle les chiffres corrects du résultat sont obtenus.

Méthodologie
Le cœur de la méthode proposée est une fonction de point fixe $T(x)$ dérivée de la série entière tronquée de l'arctangente. L'auteur définit une variable de substitution $u$ basée sur des identités trigonométriques :
$u = \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)}$
En substituant cette $u$ dans les $P$ premiers termes de la série entière de $\arctan(u)$ , l'auteur construit la fonction d'itération :
$T(x) = x - \sum_{k=1}^{P} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} \left( \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)} \right)^{2k-1}$
L'itération procède via $x_{n+1} = T(x_n)$ .

L'article fournit une preuve mathématique rigoureuse des propriétés de cette fonction :

Propriété de Point Fixe : Il est prouvé que $T(\arctan(t)) = \arctan(t)$ . Cela repose sur le fait que le terme de substitution devient nul lorsque $x = \arctan(t)$ .
Analyse des Dérivées : L'auteur démontre qu'au point fixe, les $2P$ premières dérivées de $T(x)$ s'annulent ( $T^{(k)}(\arctan(t)) = 0$ pour $0 \le k \le 2P$ ). La dérivée d'ordre $(2P+1)$ est non nulle et égale à $(-1)^P (2P)!$ .
Preuve de Convergence : En utilisant le théorème du point fixe de Banach, l'article établit que pour une valeur initiale $x_0$ suffisamment proche de $\arctan(t)$ , la suite converge.
Ordre de Convergence : Basé sur l'annulation des dérivées, le développement de Taylor du terme d'erreur montre que la méthode converge avec un ordre exactement égal à $2P + 1$ .

Contributions et Résultats Clés

Ordre Impair Arbitraire : La contribution principale est un cadre unifié permettant à l'utilisateur de sélectionner n'importe quel nombre naturel $P$ pour atteindre un ordre de convergence impair spécifique ( $3, 5, 7, \dots$ ).
Application à $\pi$ : La méthode est appliquée aux formules de type Machin pour $\pi/4$ , spécifiquement $\pi/4 = \arctan(1)$ . L'article détaille comment la formule d'itération se simplifie pour des arguments rationnels $t = 1/q$ .
Calcul Haute Précision : L'auteur présente une expérience computationnelle pratique pour calculer un million de chiffres de $\pi/4$ $π /4$ .
- Configuration : L'expérience a utilisé $P=2$ , produisant un ordre de convergence de 5 (convergence quintique).
- Stratégie : Pour optimiser les performances, l'auteur a employé une stratégie de précision à « paliers ». Au lieu de calculer toutes les itérations avec une précision totale, le nombre de chiffres significatifs a été augmenté géométriquement ( $14 \times 5^n$ ) à chaque étape, correspondant à la croissance attendue des chiffres corrects.
- Résultat : En commençant par une approximation à 14 chiffres, la méthode a atteint une précision dépassant un million de chiffres en seulement 8 itérations. Les facteurs de réduction de l'erreur observés lors de l'expérience ont confirmé l'ordre théorique de convergence.

Signification et Revendications
L'article revendique que cette méthode offre une alternative efficace pour le calcul haute précision de l'arctangente et, par extension, de $\pi$ . La signification réside dans la capacité d'ajuster l'ordre de convergence via le paramètre $P$ sans modifier la structure fondamentale de l'algorithme. L'auteur note que la méthode est auto-correctrice et, combinée à une évaluation rapide des fonctions trigonométriques (par exemple via des séries de Taylor ou d'autres algorithmes), permet le calcul de $\arctan(t)$ avec une « précision illimitée » étant donné des ressources computationnelles suffisantes. Le travail est présenté comme une démonstration d'efficacité, validée par le calcul réussi de $\pi/4$ à plus d'un million de décimales en utilisant du matériel standard et des logiciels d'algèbre informatique (Maple).

1. La Boussole Magique (La Formule)

2. Le Saut « Auto-Correcteur »

3. Le Test Ultime : Calculer Pi

4. Pourquoi Cela Compte (Selon le Papier)

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