A fixed point iteration method for the arctangent with any odd order of convergence based on sine and cosine

Sintesi Tecnica: Un Metodo di Iterazione a Punto Fisso per l'Arcotangente con Ordine di Convergenza Dispari Arbitrario

Enunciazione del Problema
Il lavoro affronta la sfida computazionale del calcolo della funzione arcotangente, $\arctan(t)$, per $t \in \mathbb{R}^+$. Sebbene la serie di potenze standard per $\arctan(u)$ converga per $|u| < 1$, il raggiungimento di un'alta precisione richiede spesso un gran numero di termini o trasformazioni specifiche. L'autore cerca un metodo di iterazione a punto fisso in grado di raggiungere un ordine di convergenza dispari arbitrario, accelerando così la velocità con cui vengono ottenute le cifre corrette del risultato.

Metodologia
Il cuore del metodo proposto è una funzione a punto fisso $T(x)$ derivata dalla serie di potenze tronca dell'arcotangente. L'autore definisce una variabile di sostituzione $u$ basata su identità trigonometriche:
$$u = \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)}$$
Sostituendo questa $u$ nei primi $P$ termini della serie di potenze di $\arctan(u)$, l'autore costruisce la funzione di iterazione:
$$T(x) = x - \sum_{k=1}^{P} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} \left( \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)} \right)^{2k-1}$$
L'iterazione procede tramite $x_{n+1} = T(x_n)$.

Il lavoro fornisce una dimostrazione matematica rigorosa delle proprietà di questa funzione:

1. Proprietà del Punto Fisso: Si dimostra che $T(\arctan(t)) = \arctan(t)$. Ciò si basa sul fatto che il termine di sostituzione diventa zero quando $x = \arctan(t)$.
2. Analisi delle Derivate: L'autore dimostra che nel punto fisso, le prime $2P$ derivate di $T(x)$ si annullano ($T^{(k)}(\arctan(t)) = 0$ per $0 \le k \le 2P$). La derivata $(2P+1)$-esima è non nulla e uguale a $(-1)^P (2P)!$.
3. Dimostrazione della Convergenza: Utilizzando il Teorema del Punto Fisso di Banach, il lavoro stabilisce che per un valore iniziale $x_0$ sufficientemente vicino a $\arctan(t)$, la successione converge.
4. Ordine di Convergenza: Basandosi sulle derivate nulle, lo sviluppo di Taylor del termine di errore mostra che il metodo converge con un ordine esattamente pari a $2P + 1$.

Contributi e Risultati Chiave

• Ordine Dispari Arbitrario: Il contributo principale è un quadro unificato che permette all'utente di selezionare qualsiasi numero naturale $P$ per raggiungere un ordine di convergenza dispari specifico ($3, 5, 7, \dots$).
• Applicazione a $\pi$: Il metodo è applicato alle formule simili a quelle di Machin per $\pi/4$, in particolare $\pi/4 = \arctan(1)$. Il lavoro dettaglia come la formula di iterazione si semplifichi per argomenti razionali $t = 1/q$.
• Calcolo ad Alta Precisione: L'autore presenta un esperimento computazionale pratico per calcolare un milione di cifre di $\pi/4$.
  • Configurazione: L'esperimento ha utilizzato $P=2$, ottenendo un ordine di convergenza di 5 (convergenza quintica).
  • Strategia: Per ottimizzare le prestazioni, l'autore ha adottato una strategia di precisione "a step fissi". Invece di calcolare tutte le iterazioni con la piena precisione, il numero di cifre significative è stato aumentato geometricamente ($14 \times 5^n$) ad ogni passo, allineandosi alla crescita attesa delle cifre corrette.
  • Esito: Partendo da un'approssimazione di 14 cifre, il metodo ha raggiunto una precisione superiore a un milione di cifre in sole 8 iterazioni. I fattori di riduzione dell'errore osservati nell'esperimento hanno confermato l'ordine teorico di convergenza.

Significato e Affermazioni
Il lavoro afferma che questo metodo offre un'alternativa efficiente per il calcolo ad alta precisione dell'arcotangente e, di conseguenza, di $\pi$. Il significato risiede nella capacità di sintonizzare l'ordine di convergenza tramite il parametro $P$ senza modificare la struttura fondamentale dell'algoritmo. L'autore nota che il metodo è autocorrettivo e, se combinato con una valutazione rapida delle funzioni trigonometriche (ad esempio tramite serie di Taylor o altri algoritmi), permette il calcolo di $\arctan(t)$ con "precisione illimitata" dati sufficienti risorse computazionali. Il lavoro è presentato come una dimostrazione di efficienza, validata dal calcolo riuscito di $\pi/4$ a oltre un milione di cifre decimali utilizzando hardware standard e software di algebra computazionale (Maple).