A fixed point iteration method for the arctangent with any odd order of convergence based on sine and cosine

Resumen Técnico: Un Método de Iteración de Punto Fijo para la Arcotangente con Cualquier Orden Impar de Convergencia

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el desafío computacional de calcular la función arcotangente, $\arctan(t)$, para $t \in \mathbb{R}^+$. Si bien la expansión en serie de potencias estándar para $\arctan(u)$ converge para $|u| < 1$, lograr una alta precisión a menudo requiere un gran número de términos o transformaciones específicas. El autor busca un método de iteración de punto fijo que pueda alcanzar un orden de convergencia impar arbitrario, acelerando así la tasa a la que se obtienen los dígitos correctos del resultado.

Metodología
El núcleo del método propuesto es una función de punto fijo $T(x)$ derivada de la serie de potencias truncada de la arcotangente. El autor define una variable de sustitución $u$ basada en identidades trigonométricas:
$$u = \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)}$$
Sustituyendo esta $u$ en los primeros $P$ términos de la serie de potencias de $\arctan(u)$, el autor construye la función de iteración:
$$T(x) = x - \sum_{k=1}^{P} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} \left( \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)} \right)^{2k-1}$$
La iteración procede mediante $x_{n+1} = T(x_n)$.

El artículo proporciona una demostración matemática rigurosa de las propiedades de esta función:

1. Propiedad de Punto Fijo: Se demuestra que $T(\arctan(t)) = \arctan(t)$. Esto se basa en el hecho de que el término de sustitución se anula cuando $x = \arctan(t)$.
2. Análisis de Derivadas: El autor demuestra que en el punto fijo, las primeras $2P$ derivadas de $T(x)$ se anulan ($T^{(k)}(\arctan(t)) = 0$ para $0 \le k \le 2P$). La derivada $(2P+1)$-ésima es no nula e igual a $(-1)^P (2P)!$.
3. Demostración de Convergencia: Utilizando el Teorema del Punto Fijo de Banach, el artículo establece que para un valor inicial $x_0$ suficientemente cercano a $\arctan(t)$, la secuencia converge.
4. Orden de Convergencia: Basado en las derivadas nulas, la expansión de Taylor del término de error muestra que el método converge con un orden exactamente igual a $2P + 1$.

Contribuciones y Resultados Clave

• Orden Impar Arbitrario: La contribución principal es un marco unificado que permite al usuario seleccionar cualquier número natural $P$ para lograr un orden de convergencia impar específico ($3, 5, 7, \dots$).
• Aplicación a $\pi$: El método se aplica a fórmulas tipo Machin para $\pi/4$, específicamente $\pi/4 = \arctan(1)$. El artículo detalla cómo la fórmula de iteración se simplifica para argumentos racionales $t = 1/q$.
• Cálculo de Alta Precisión: El autor presenta un experimento computacional práctico para calcular un millón de dígitos de $\pi/4$.
  • Configuración: El experimento utilizó $P=2$, obteniendo un orden de convergencia de 5 (convergencia quíntica).
  • Estrategia: Para optimizar el rendimiento, el autor empleó una estrategia de precisión de "mantenimiento por pasos". En lugar de calcular todas las iteraciones con precisión completa, el número de dígitos significativos se incrementó geométricamente ($14 \times 5^n$) en cada paso, coincidiendo con el crecimiento esperado de los dígitos correctos.
  • Resultado: Comenzando con una aproximación de 14 dígitos, el método alcanzó una precisión superior a un millón de dígitos en solo 8 iteraciones. Los factores de reducción del error observados en el experimento confirmaron el orden teórico de convergencia.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma que este método ofrece una alternativa eficiente para el cálculo de alta precisión de la arcotangente y, por extensión, de $\pi$. El significado radica en la capacidad de ajustar el orden de convergencia mediante el parámetro $P$ sin cambiar la estructura fundamental del algoritmo. El autor señala que el método es autocorrector y, cuando se combina con una evaluación rápida de funciones trigonométricas (por ejemplo, mediante series de Taylor u otros algoritmos), permite el cálculo de $\arctan(t)$ con "precisión ilimitada" dados recursos computacionales suficientes. La obra se presenta como una demostración de eficiencia, validada por el cálculo exitoso de $\pi/4$ con más de un millón de decimales utilizando hardware estándar y software de álgebra computacional (Maple).