A fixed point iteration method for the arctangent with any odd order of convergence based on sine and cosine

Technische Samenvatting: Een Methode voor Vaste-Puntiteratie voor de Arctangens met Willekeurige Oneven Orde van Convergentie

Probleemstelling
Het artikel behandelt de computationele uitdaging van het berekenen van de arctangensfunctie, $\arctan(t)$, voor $t \in \mathbb{R}^+$. Hoewel de standaard machtreeksontwikkeling voor $\arctan(u)$ convergeert voor $|u| < 1$, vereist het bereiken van hoge precisie vaak een groot aantal termen of specifieke transformaties. De auteur zoekt een methode voor vaste-puntiteratie die een willekeurige oneven orde van convergentie kan bereiken, waardoor de snelheid waarmee de juiste cijfers van het resultaat worden verkregen, wordt versneld.

Methodologie
De kern van de voorgestelde methode is een vaste-puntfunctie $T(x)$ die is afgeleid van de afgekaptte machtreeks van de arctangens. De auteur definieert een substitutievriabele $u$ op basis van goniometrische identiteiten:
$$u = \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)}$$
Door deze $u$ te substitueren in de eerste $P$ termen van de machtreeks van $\arctan(u)$, construeert de auteur de iteratiefunctie:
$$T(x) = x - \sum_{k=1}^{P} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} \left( \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)} \right)^{2k-1}$$
De iteratie verloopt via $x_{n+1} = T(x_n)$.

Het artikel biedt een strikt wiskundig bewijs voor de eigenschappen van deze functie:

1. Eigenschap van het Vaste Punt: Er wordt bewezen dat $T(\arctan(t)) = \arctan(t)$. Dit berust op het feit dat de substitutetermin nul wordt wanneer $x = \arctan(t)$.
2. Analyse van de Afgeleide: De auteur toont aan dat bij het vaste punt de eerste $2P$ afgeleiden van $T(x)$ verdwijnen ($T^{(k)}(\arctan(t)) = 0$ voor $0 \le k \le 2P$). De $(2P+1)$-de afgeleide is niet-nul en gelijk aan $(-1)^P (2P)!$.
3. Bewijs van Convergentie: Met behulp van het Banach-vaste-punttheorema stelt het artikel vast dat voor een beginwaarde $x_0$ die voldoende dicht bij $\arctan(t)$ ligt, de rij convergeert.
4. Orde van Convergentie: Gebaseerd op de verdwijnende afgeleiden toont de Taylor-ontwikkeling van de foutterm aan dat de methode convergeert met een orde van precies $2P + 1$.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Willekeurige Oneven Orde: De belangrijkste bijdrage is een unificerend kader dat de gebruiker in staat stelt een willekeurig natuurlijk getal $P$ te selecteren om een specifieke oneven orde van convergentie te bereiken ($3, 5, 7, \dots$).
• Toepassing op $\pi$: De methode wordt toegepast op Machin-achtige formules voor $\pi/4$, specifiek $\pi/4 = \arctan(1)$. Het artikel beschrijft in detail hoe de iteratieformule vereenvoudigt voor rationale argumenten $t = 1/q$.
• Berekening met Hoge Precisie: De auteur presenteert een praktisch computationeel experiment om één miljoen cijfers van $\pi/4$ te berekenen.
  • Configuratie: Het experiment gebruikte $P=2$, wat resulteerde in een convergentie-orde van 5 (kwintische convergentie).
  • Strategie: Om de prestaties te optimaliseren, hanteerde de auteur een precisiestrategie met "stap-houding". In plaats van alle iteraties met volledige precisie te berekenen, werd het aantal significante cijfers bij elke stap geometrisch verhoogd ($14 \times 5^n$), passend bij de verwachte groei van de juiste cijfers.
  • Resultaat: Beginnend met een benadering van 14 cijfers, bereikte de methode in slechts 8 iteraties een nauwkeurigheid van meer dan één miljoen cijfers. De in het experiment waargenomen factoren voor foutreductie bevestigden de theoretische orde van convergentie.

Betekenis en Aanspraken
Het artikel beweert dat deze methode een efficiënt alternatief biedt voor de berekening met hoge precisie van de arctangens en bij uitbreiding van $\pi$. De betekenis ligt in het vermogen om de orde van convergentie af te stemmen via de parameter $P$ zonder de fundamentele structuur van het algoritme te veranderen. De auteur merkt op dat de methode zelfcorrigerend is en, in combinatie met snelle evaluatie van goniometrische functies (bijvoorbeeld via Taylorreeksen of andere algoritmen), de berekening van $\arctan(t)$ met "onbeperkte precisie" mogelijk maakt, gegeven voldoende computationele middelen. Het werk wordt gepresenteerd als een demonstratie van efficiëntie, gevalideerd door de succesvolle berekening van $\pi/4$ tot meer dan één miljoen decimalen met standaardhardware en computeralgebra-software (Maple).