A fixed point iteration method for the arctangent with any odd order of convergence based on sine and cosine

Resumo Técnico: Um Método de Iteração de Ponto Fixo para a Função Arco-Tangente com Qualquer Ordem Ímpar de Convergência

Enunciado do Problema
O artigo aborda o desafio computacional de calcular a função arco-tangente, $\arctan(t)$, para $t \in \mathbb{R}^+$. Embora a expansão em série de potências padrão para $\arctan(u)$ convirja para $|u| < 1$, alcançar alta precisão frequentemente exige um grande número de termos ou transformações específicas. O autor busca um método de iteração de ponto fixo capaz de atingir uma ordem de convergência ímpar arbitrária, acelerando assim a taxa na qual os dígitos corretos do resultado são obtidos.

Metodologia
O núcleo do método proposto é uma função de ponto fixo $T(x)$ derivada da série de potências truncada do arco-tangente. O autor define uma variável de substituição $u$ baseada em identidades trigonométricas:
$$u = \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)}$$
Ao substituir esta $u$ nos primeiros $P$ termos da série de potências de $\arctan(u)$, o autor constrói a função de iteração:
$$T(x) = x - \sum_{k=1}^{P} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} \left( \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)} \right)^{2k-1}$$
A iteração prossegue via $x_{n+1} = T(x_n)$.

O artigo fornece uma prova matemática rigorosa das propriedades desta função:

1. Propriedade de Ponto Fixo: É provado que $T(\arctan(t)) = \arctan(t)$. Isso baseia-se no fato de que o termo de substituição se torna zero quando $x = \arctan(t)$.
2. Análise da Derivada: O autor demonstra que, no ponto fixo, as primeiras $2P$ derivadas de $T(x)$ se anulam ($T^{(k)}(\arctan(t)) = 0$ para $0 \le k \le 2P$). A derivada de ordem $(2P+1)$ é não nula e igual a $(-1)^P (2P)!$.
3. Prova de Convergência: Utilizando o Teorema do Ponto Fixo de Banach, o artigo estabelece que, para um valor inicial $x_0$ suficientemente próximo de $\arctan(t)$, a sequência converge.
4. Ordem de Convergência: Com base nas derivadas anuladas, a expansão de Taylor do termo de erro mostra que o método converge com uma ordem exatamente igual a $2P + 1$.

Contribuições e Resultados Principais

• Ordem Ímpar Arbitrária: A contribuição primária é um quadro unificado que permite ao usuário selecionar qualquer número natural $P$ para atingir uma ordem de convergência ímpar específica ($3, 5, 7, \dots$).
• Aplicação a $\pi$: O método é aplicado a fórmulas tipo Machin para $\pi/4$, especificamente $\pi/4 = \arctan(1)$. O artigo detalha como a fórmula de iteração se simplifica para argumentos racionais $t = 1/q$.
• Cálculo de Alta Precisão: O autor apresenta um experimento computacional prático para calcular um milhão de dígitos de $\pi/4$.
  • Configuração: O experimento utilizou $P=2$, resultando em uma ordem de convergência de 5 (convergência quártica).
  • Estratégia: Para otimizar o desempenho, o autor empregou uma estratégia de precisão de "retenção por etapas". Em vez de calcular todas as iterações com precisão total, o número de dígitos significativos foi aumentado geometricamente ($14 \times 5^n$) a cada etapa, correspondendo ao crescimento esperado dos dígitos corretos.
  • Resultado: Começando com uma aproximação de 14 dígitos, o método atingiu uma precisão superior a um milhão de dígitos em apenas 8 iterações. Os fatores de redução de erro observados no experimento confirmaram a ordem teórica de convergência.

Significado e Alegações
O artigo alega que este método oferece uma alternativa eficiente para o cálculo de alta precisão do arco-tangente e, por extensão, de $\pi$. O significado reside na capacidade de ajustar a ordem de convergência via o parâmetro $P$ sem alterar a estrutura fundamental do algoritmo. O autor observa que o método é auto-corretivo e, quando combinado com avaliação rápida de funções trigonométricas (por exemplo, via séries de Taylor ou outros algoritmos), permite o cálculo de $\arctan(t)$ com "precisão ilimitada", dados recursos computacionais suficientes. O trabalho é apresentado como uma demonstração de eficiência, validada pelo cálculo bem-sucedido de $\pi/4$ para mais de um milhão de casas decimais usando hardware padrão e software de álgebra computacional (Maple).