A fixed point iteration method for the arctangent with any odd order of convergence based on sine and cosine

技术摘要：一种具有任意奇数阶收敛性的反正切函数不动点迭代法

问题陈述
本文探讨了计算 $t \in \mathbb{R}^+$ 范围内反正切函数 $\arctan(t)$ 的计算挑战。虽然 $\arctan(u)$ 的标准幂级数展开在 $|u| < 1$ 时收敛，但实现高精度通常需要大量项数或特定的变换。作者寻求一种不动点迭代方法，该方法能够实现任意奇数阶的收敛性，从而加速获得结果正确数字的速率。

方法论
所提出方法的核心是一个源自反正切截断幂级数的不动点函数 $T(x)$。作者基于三角恒等式定义了一个替换变量 $u$：
$$u = \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)}$$
通过将此 $u$ 代入 $\arctan(u)$ 幂级数的前 $P$ 项，作者构建了迭代函数：
$$T(x) = x - \sum_{k=1}^{P} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} \left( \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)} \right)^{2k-1}$$
迭代过程通过 $x_{n+1} = T(x_n)$ 进行。

本文提供了该函数性质的严格数学证明：

1. 不动点性质：证明了 $T(\arctan(t)) = \arctan(t)$。这依赖于当 $x = \arctan(t)$ 时，替换项变为零的事实。
2. 导数分析：作者证明在不动点处，$T(x)$ 的前 $2P$ 阶导数均为零（对于 $0 \le k \le 2P$，$T^{(k)}(\arctan(t)) = 0$）。第 $(2P+1)$ 阶导数非零，且等于 $(-1)^P (2P)!$。
3. 收敛性证明：利用巴拿赫不动点定理，本文确立了对于充分接近 $\arctan(t)$ 的初始值 $x_0$，序列是收敛的。
4. 收敛阶数：基于导数消失的特性，误差项的泰勒展开表明该方法的收敛阶数恰好为 $2P + 1$。

主要贡献与结果

• 任意奇数阶：主要贡献在于提供了一个统一的框架，允许用户选择任意自然数 $P$ 以实现特定的奇数阶收敛（$3, 5, 7, \dots$）。
• 在 $\pi$ 计算中的应用：该方法被应用于 $\pi/4$ 的梅钦类公式，特别是 $\pi/4 = \arctan(1)$。本文详细说明了当参数为有理数 $t = 1/q$ 时，迭代公式如何简化。
• 高精度计算：作者展示了一个实际的计算实验，用于计算 $\pi/4$ 的一百万位数字。
  • 配置：实验使用了 $P=2$，产生了 5 阶收敛（五次收敛）。
  • 策略：为了优化性能，作者采用了一种“步进保持”精度策略。不是在所有迭代中都以全精度计算，而是在每一步按几何级数增加有效数字位数（$14 \times 5^n$），以匹配预期增长的正确数字位数。
  • 结果：从 14 位近似值开始，该方法仅通过 8 次迭代就达到了超过一百万位的精度。实验中观察到的误差缩减因子证实了理论上的收敛阶数。

意义与主张
本文声称，该方法为反正切函数及由此延伸的 $\pi$ 的高精度计算提供了一种高效的替代方案。其意义在于能够通过参数 $P$ 调整收敛阶数，而无需改变算法的基本结构。作者指出，该方法具有自校正特性，当与快速三角函数求值（例如通过泰勒级数或其他算法）相结合时，在具备足够计算资源的情况下，可实现 $\arctan(t)$ 的“无限精度”计算。这项工作被呈现为一种效率演示，通过使用标准硬件和计算机代数软件（Maple）成功计算 $\pi/4$ 至超过一百万位小数得到了验证。