A fixed point iteration method for the arctangent with any odd order of convergence based on sine and cosine

技術的概要：任意の奇数次収束を持つ反正切関数の固定点反復法

問題提起
本論文は、$t \in \mathbb{R}^+$ に対する反正切関数 $\arctan(t)$ の計算という計算上の課題に取り組んでいる。$\arctan(u)$ の標準的なべき級数展開は $|u| < 1$ で収束するが、高い精度を達成するには、多くの項または特定の変換が必要となることが多い。著者は、結果の正しい桁数を取得する速度を加速させるために、任意の奇数次の収束を達成できる固定点反復法を追求している。

手法
提案された手法の核心は、反正切の切り捨てられたべき級数から導出された固定点関数 $T(x)$ である。著者は三角関数の恒等式に基づき、変数 $u$ を以下のように定義する：
$$u = \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)}$$
この $u$ を $\arctan(u)$ のべき級数の最初の $P$ 項に代入することで、著者は反復関数を構築する：
$$T(x) = x - \sum_{k=1}^{P} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} \left( \frac{\sin(x) - t \cos(x)}{\cos(x) + t \sin(x)} \right)^{2k-1}$$
反復は $x_{n+1} = T(x_n)$ によって行われる。

本論文は、この関数の性質に対する厳密な数学的証明を提供している：

1. 固定点の性質：$T(\arctan(t)) = \arctan(t)$ であることが証明されている。これは、$x = \arctan(t)$ のとき、代入項がゼロになるという事実に依存している。
2. 微分分析：著者は、固定点において $T(x)$ の最初の $2P$ 個の微分がゼロになることを示している（$0 \le k \le 2P$ に対して $T^{(k)}(\arctan(t)) = 0$）。$(2P+1)$ 階微分はゼロではなく、$(-1)^P (2P)!$ に等しい。
3. 収束の証明：バナッハの固定点定理を用いて、初期値 $x_0$ が $\arctan(t)$ に十分に近ければ、数列が収束することを確立している。
4. 収束次数：消滅する微分に基づき、誤差項のテイラー展開は、この手法が正確に $2P + 1$ 次の次数で収束することを示している。

主要な貢献と結果

• 任意の奇数次：主要な貢献は、ユーザーが任意の自然数 $P$ を選択して特定の奇数次の収束（3, 5, 7, ...）を達成することを可能にする統一された枠組みである。
• $\pi$ への応用：この手法は、$\pi/4$ に対するマチン型の公式、特に $\pi/4 = \arctan(1)$ に適用されている。論文は、有理数 $t = 1/q$ に対する反復公式がどのように簡略化されるかを詳述している。
• 高精度計算：著者は、$\pi/4$ の 100 万桁を計算するための実用的な計算実験を提示している。
  • 設定：実験では $P=2$ を使用し、5 次収束（5 次収束）を得た。
  • 戦略：パフォーマンスを最適化するため、著者は「ステップ保持」精度戦略を採用した。すべての反復をフル精度で計算する代わりに、各ステップで有効桁数を幾何学的に（$14 \times 5^n$）増加させ、正しい桁数の予想される増加に合わせて調整した。
  • 結果：14 桁の近似値から開始し、この手法はわずか 8 回の反復で 100 万桁を超える精度に到達した。実験で観測された誤差減少因子は、理論的な収束次数を確認した。

意義と主張
本論文は、この手法が反正切、ひいては $\pi$ の高精度計算に対する効率的な代替手段を提供すると主張している。その意義は、アルゴリズムの根本的な構造を変更することなく、パラメータ $P$ を通じて収束次数を調整できる点にある。著者は、この手法は自己修正的であり、高速な三角関数評価（テイラー級数や他のアルゴリズムによるなど）と組み合わせることで、十分な計算資源があれば「無限の精度」で $\arctan(t)$ を計算できることを指摘している。この研究は、標準的なハードウェアとコンピュータ代数ソフトウェア（Maple）を用いて $\pi/4$ を 100 万桁以上の小数点以下に計算する成功によって検証された、効率性の実証として提示されている。