Solutions of the 3D inhomogeneous incompressible Navier-Stokes system with initial velocity in $VMO^{-1}$

Technische Zusammenfassung: Lösungen des 3D-inhomogenen inkompressiblen Navier-Stokes-Systems mit Anfangsgeschwindigkeit in $VMO^{-1}$

Problemstellung
Diese Arbeit untersucht das Anfangswertproblem für die dreidimensionalen inhomogenen inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen:
$$\begin{cases} \partial_t \rho + u \cdot \nabla \rho = 0, \\ \partial_t (\rho u) + \text{div}(\rho u \otimes u) - \Delta u + \nabla P = 0, \\ \nabla \cdot u = 0, \\ (\rho, u)|_{t=0} = (\rho_0, u_0). \end{cases}$$
Das System modelliert Mischungen von inkompressiblen, unmischbaren Fluiden mit variierenden Dichten. Die primäre Herausforderung besteht in der Existenz starker Lösungen, wenn die Anfangsgeschwindigkeit $u_0$ eine geringe Regularität aufweist, insbesondere wenn sie im Raum $L^2 \cap VMO^{-1}$ liegt, und die Anfangsdichte $\rho_0$ lediglich von Null verschieden ist (mit $C^1$- oder $C^2$-Regularität). Der Raum $VMO^{-1}$ ist ein Unterraum des kritischen Raums $BMO^{-1}$, der als Abschluss glatter Funktionen mit kompakter Unterstützung in der $BMO^{-1}$-Norm definiert ist.

Methodik
Die Autoren verwenden eine Methode der „eingefrorenen Koeffizienten“ (freezing coefficient method), die aus [12] adaptiert wurde, um die räumliche Inhomogenität der Dichte zu handhaben. Die Kernstrategie umfasst die folgenden Schritte:

1. Zerlegung mittels eingefrorener Koeffizienten: Für einen fixierten Punkt $x_0$ wird die Impulsgleichung unter Verwendung des Leray-Operators $\mathbb{P}$ projiziert, und der Dichtekoeffizient $\rho$ wird an $\rho_0(x_0)$ eingefroren. Dies transformiert die Gleichung in eine Wärmegleichung vom Typ mit variablen Koeffizienten. Die Lösung $u$ wird in einen linearen Teil ($u_L$), einen bilinearen Teil ($u_N$) und Restterme ($u_R$) zerlegt, die aus der räumlichen Variation von $\rho$ und der nicht-lokalen Natur des Drucks resultieren.
2. Funktionaler Rahmen: Die Autoren führen einen gemischten Normraum $X_T$ ein, um sowohl kritische als auch subkritische Verhaltensweisen zu erfassen. Die Norm $\|u\|_{X_T}$ kombiniert:
   • Eine kritische Komponente, die $L^\infty$-Beschränktheiten gewichtet mit $t^{1/2}$, $VMO^{-1}$-Typ-Normen ($V^b_T$) und Hölder-Stetigkeit in der Zeit umfasst.
   • Eine subkritische Komponente, die $L^{12}$-Normen und höhere zeitliche Hölder-Stetigkeit beinhaltet.
     Die Einbeziehung der $L^{12}$-Norm ist motiviert durch die Tatsache, dass die Leray-Projektion nicht auf $L^\infty$ beschränkt, aber auf $L^p$ für $p \in (1, \infty)$ beschränkt ist.
3. Regularität der Dichte: Da die Lipschitz-Norm des Geschwindigkeitsgradienten wie $t^{-1}$ (nicht integrierbar) verhält, führt die Transportgleichung für die Dichte zu einem Verlust der räumlichen Regularität. Die Autoren etablieren, dass bei einer Anfangsdichte in $C^1$ (oder $C^2$) die Lösung für kleine Zeiten eine spezifische Hölder-Regularität beibehält, die durch eine Hilfsnorm $\|u\|_T$ kontrolliert wird.
4. Abschätzungen für Restterme: Ein wesentlicher technischer Beitrag ist die rigorose Abschätzung der Restterme ($u_{R1}, u_{R2}, u_{R3}$). Diese Terme beinhalten die Differenz $\rho(y) - \rho(x_0)$. Die Autoren nutzen zeitgewichtete Hölder-Normen und Energieabschätzungen (speziell $\sup t \|u_t\|_{L^2} < \infty$), um den Verlust der räumlichen Regularität der Dichte zu kompensieren. Lemma 4.1 liefert ein entscheidendes Werkzeug zur Abschätzung von Zeitdifferenzen von Integralen unter Verwendung des Wärmekerns mit variablen Koeffizienten.

Wichtigste Ergebnisse

• Lokale Existenz (Theorem 1.1):
  Die Autoren beweisen die lokale Existenz einer starken Lösung für die Anfangsdaten $(\rho_0, u_0)$, wobei:

  • $\rho_0 \in C^1$ mit einer positiven unteren Schranke ($0 < C_1 < \rho_0 < C_2 < \infty$) vorliegt.
  • $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$ liegt.
  • Die lokalisierte $BMO^{-1}$-Norm $\|u_0\|_{BMO^{-1}_b}$ hinreichend klein ist ($\le \epsilon_0$).
    Die Lösung existiert auf einem Zeitintervall $[0, T]$, wobei $T \sim b^2$. Die Geschwindigkeit erfüllt spezifische Beschränkungen in der $X_T$-Norm, und die Dichte bleibt beschränkt.

• Globale Existenz (Theorem 1.2):
  Unter der Annahme, dass die Anfangsdichte nahe an einer Konstante liegt ($\rho_0 \in C^2$) und die Anfangsgeschwindigkeit hinreichend klein in der $BMO^{-1}$-Norm ist (speziell $\|\rho_0 - 1\|_{L^\infty} + \|u_0\|_{BMO^{-1}} < \epsilon_2$), etablieren die Autoren die globale Existenz einer starken Lösung.

  • Der Beweis stützt sich auf ein „Bootstrapping“-Argument: Unter Verwendung des lokalen Existenzergebnisses wird gezeigt, dass die Lösung zu einem kurzen Zeitpunkt $T^*/2$ hinreichend regulär und klein wird, um die für die globale Existenz in der Besov-Räumen $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ erforderliche Kleinheitsbedingung zu erfüllen (unter Bezugnahme auf Theorem 6.1 aus [25]).
  • Die Anforderung $\rho_0 \in C^2$ ist notwendig, um sicherzustellen, dass die maximale Existenzzeit in der lokalen Abschätzung nicht in einer Weise von dem Kleinheitsparameter abhängt, die eine globale Erweiterung verhindert.

Bedeutung und Ansprüche
Die Arbeit beansprucht, die Theorie der wohldefinierten Lösungen für inhomogene Navier-Stokes-Gleichungen auf den kritischen Raum $VMO^{-1}$ für die Geschwindigkeit auszudehnen, ein Setting, das Daten mit negativer Regularität einschließt.

• Neuheit der Regularität: Im Gegensatz zu früheren Ergebnissen, die $u_0 \in L^p$ ($p>2$) oder spezifische Besov-Räume erforderten, ermöglicht diese Arbeit $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$.
• Handhabung der Inhomogenität: Den Autoren ist es gelungen, die Methode der eingefrorenen Koeffizienten auf den inhomogenen Fall zu adaptieren und dabei die Schwierigkeit zu überwinden, dass die Transportgleichung der Dichte zu einem Verlust der räumlichen Regularität führt. Sie erreichen dies durch die Ausnutzung der Zeitregularität und die Verwendung subkritischer Normen zur Kontrolle der Restterme.
• Eindeutigkeit: Das Papier merkt explizit an, dass die Etablierung der Eindeutigkeit unter den Annahmen von Theorem 1.1 (insbesondere für $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$ ohne Kleinheit) ein offenes Problem bleibt. Die verwendete Methodik für die Existenz liefert derzeit keine Eindeutigkeit in diesem kritischen Setting, was sie von den klassischen $B-M-O^{-1}$-Ergebnissen für homogene Navier-Stokes-Gleichungen durch Koch und Tataru [29] unterscheidet.

Fazit
Diese Arbeit bietet einen rigorosen Rahmen zur Lösung der 3D-inhomogenen Navier-Stokes-Gleichungen mit nieder-regularisierten Anfangsgeschwindigkeiten in $VMO^{-1}$. Durch die Kombination von Transportgleichungs-Abschätzungen mit einer verfeinerten Methode der eingefrorenen Koeffizienten und einem sorgfältig konstruierten gemischten-normierten Funktionalraum etablieren die Autoren die lokale Existenz für allgemeine beschränkte Dichten sowie die globale Existenz, wenn die Dichte nahe an einer Konstante liegt und die Geschwindigkeit klein ist. Die Ergebnisse stellen einen bedeutenden Fortschritt im Verständnis der Wohldefiniertheit von Fluidgemischen mit variierenden Dichten in kritischen Funktionsräumen dar.