Solutions of the 3D inhomogeneous incompressible Navier-Stokes system with initial velocity in $VMO^{-1}$

技術要約：初期速度が $VMO^{-1}$ に属する場合の3次元非均質非圧縮ナビエ・ストークス系の解

問題設定
本論文は、以下の3次元非均質非圧縮ナビエ・ストークス方程式の初期値問題を調査している：
$$\begin{cases} \partial_t \rho + u \cdot \nabla \rho = 0, \\ \partial_t (\rho u) + \text{div}(\rho u \otimes u) - \Delta u + \nabla P = 0, \\ \nabla \cdot u = 0, \\ (\rho, u)|_{t=0} = (\rho_0, u_0). \end{cases}$$
この系は、密度が異なる不混和な非圧縮流体の混合物をモデル化している。主な課題は、初期速度 $u_0$ が低い正則性、具体的には $L^2 \cap VMO^{-1}$ に属する場合の強解の存在である（ここで初期密度 $\rho_0$ は単にゼロから離れているものとする（$C^1$ または $C^2$ 正則性））。空間 $VMO^{-1}$ は、臨界空間 $BMO^{-1}$ の部分空間であり、$BMO^{-1}$ ノルムにおいて滑らかなコンパクト支持関数の閉包として定義される。

手法
著者らは、密度の空間的不均質性を扱うために、[12] から適応させた「係数凍結（freezing coefficient）」法を用いている。核心となる戦略は、以下のステップを含む：

1. 係数凍結による分解： 固定された点 $x_0$ に対して、運動量方程式はレレイ射影 $\mathbb{P}$ を用いて射影され、密度係数 $\rho$ は $\rho_0(x_0)$ で凍結される。これにより、方程式は変数係数を持つ熱型の方程式へと変換される。解 $u$ は、線形部分 ($u_L$)、双線形部分 ($u_N$)、および $\rho$ の空間的変動と圧力の非局所性に起因する剰余項 ($u_R$) に分解される。
2. 関数フレームワーク： 著者らは、臨界的挙動と劣臨界的挙動の両方を捉えるために、混合ノルム空間 $X_T$ を導入している。ノルム $\|u\|_{X_T}$ は以下を組み合わせたものである：
   • $t^{1/2}$ で重み付けされた $L^\infty$ 境界、$VMO^{-1}$ 型のノルム ($V^b_T$)、および時間に関するヘルダー連続性を伴う臨界成分。
   • $L^{12}$ ノルムと高次の時間ヘルダー連続性を伴う劣臨界成分。
     $L^{12}$ ノルムの導入は、レレイ射影が $L^\infty$ 上では有界ではないが、$p \in (1, \infty)$ に対しては有界であるという事実に着想を得ている。
3. 密度の正則性： 速度勾配のリプシッツノルムは $t^{-1}$ （非可積分）のように振る舞うため、密度の輸送方程式は空間的正則性の損失を引き起こす。著者らは、初期密度が $C^1$（または $C^2$）であれば、解が微小時間において特定のヘルダー正則性を保持し、それは補助的なノルム $\|u\|_T$ によって制御されることを確立している。
4. 剰余項の推定： 重要な技術的貢献は、剰余項 ($u_{R1}, u_{R2}, u_{R3}$) の厳密な推定である。これらの項は $\rho(y) - \rho(x_0)$ を含む。著者らは、密度の空間的正則性の損失を補償するために、時間重み付きヘルダーノルムとエネルギー推定（特に $\sup t \|u_t\|_{L^2} < \infty$）を利用している。補題 4.1 は、変数係数を持つ熱核を伴う積分の時間差を推定するための極めて重要な道具を提供している。

主要な結果

• 局所存在（定理 1.1）：
  著者らは、初期データ $(\rho_0, u_0)$ に対して強解の局所存在を証明した。ここで：

  • $\rho_0 \in C^1$ であり、正の下限を持つ ($0 < C_1 < \rho_0 < C_2 < \infty$)。
  • $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$。
  • 局所化された $BMO^{-1}$ ノルム $\|u_0\|_{BMO^{-1}_b}$ が十分に小さい ($\le \epsilon_0$)。
    解は、時間区間 $[0, T]$（ここで $T \sim b^2$）において存在する。速度は $X_T$ ノルムにおいて特定の境界を満たす。

• 大域存在（定理 1.2）：
  初期密度が定数に近い（$\rho_0 \in C^2$）かつ初期速度が $BMO^{-1}$ ノルムにおいて十分に小さい（具体的には $\|\rho_0 - 1\|_{L^\infty} + \|u_0\|_{BMO^{-1}} < \epsilon_2$）という仮定の下で、著者らは強解の大域存在を確立している。

  • 証明は「ブートストラップ」論法に基づいている。すなわち、局所存在の結果を用いて、解が短時間 $T^*/2$ において十分に正則かつ小さくなり、Besov 空間 $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ における大域存在のための小ささの条件を満たすことを示す。
  • $\rho_0 \in C^2$ という要件は、局所推定における最大存在時間が、大域的拡張を妨げるような形で小ささのパラメータに依存しないことを保証するために必要である。

意義と主張
本論文は、非均質なナビエ・ストークス方程式のウェルポーズドネス理論を、速度に関して $VMO^{-1}$ という、負の正則性を持つデータを含む設定へと拡張することを主張している。

• 正則性の新規性： $u_0 \in L^p$ ($p>2$) や特定の Besov 空間を要求する従来の成果とは異なり、本研究は $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$ を許容する。
• 不均質性の処理： 著者らは、係数凍結法を非均質の場合に適応させることに成功し、密度の輸送方程式が空間的正則性の損失を引き起こすという困難を克服した。彼らは、時間的正則性を利用し、劣臨界ノルムを用いて剰余項を制御することでこれを達成した。
• 一意性： 論文では、定理 1.1 の仮定下（特に小ささの条件なしの $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$）における一意性の確立は依然として未解決の問題であることが明記されている。用いられた手法は、現在のところこの臨界の設定における一意性を導き出しておらず、これは Koch と Tataru [29] による均質なナビエ・ストークス方程式の古典的な $BMO^{-1}$ の結果とは区別される点である。

結論
本研究は、低正則性の初期速度 $VMO^{-1}$ を持つ3次元非均質ナビエ・ストークス方程式を解くための厳密な枠組みを提供する。輸送方程式の推定と洗練された係数凍結技術、および注意深く構築された混合ノルム関数空間を組み合わせることで、一般的な有界密度に対する局所存在、および密度が定数に近く速度が小さい場合の大域存在を確立している。これらの結果は、可変密度を持つ流体混合物のウェルポーズドネスの理解における重要な進展である。