Solutions of the 3D inhomogeneous incompressible Navier-Stokes system with initial velocity in $VMO^{-1}$

Résumé Technique : Solutions du système de Navier-Stokes incompressibles inhomogènes en 3D avec une vitesse initiale dans $VMO^{-1}$

Énoncé du Problème
Cet article étudie le problème de la valeur initiale pour les équations de Navier-Stokes incompressibles inhomogènes en trois dimensions :
$$\begin{cases} \partial_t \rho + u \cdot \nabla \rho = 0, \\ \partial_t (\rho u) + \text{div}(\rho u \otimes u) - \Delta u + \nabla P = 0, \\ \nabla \cdot u = 0, \\ (\rho, u)|_{t=0} = (\rho_0, u_0). \end{cases}$$
Le système modélise des mélanges de fluides incompressibles immiscibles présentant des densités variables. Le principal défi abordé est l'existence de solutions fortes lorsque la vitesse initiale possède une faible régularité, plus précisément lorsqu'elle appartient à l'espace $L^2 \cap VMO^{-1}$, et que la densité initiale $\rho_0$ est simplement bornée loin de zéro (avec une régularité $C^1$ ou $C^2$). L'espace $VMO^{-1}$ est un sous-espace de l'espace critique $BMO^{-1}$, défini comme la fermeture des fonctions lisses à support compact dans la norme $BMO^{-1}$.

Méthodologie
Les auteurs utilisent une méthode de « gel de coefficient » adaptée de [12] pour gérer l'inhomogénéité spatiale de la densité. La stratégie centrale comprend les étapes suivantes :

1. Décomposition par gel de coefficients : Pour un point $x_0$ fixé, l'équation de quantité de mouvement est projetée via l'opérateur de Leray $\mathbb{P}$, et le coefficient de densité $\rho$ est gelé à $\rho_0(x_0)$. Cela transforme l'équation en une équation de type chaleur à coefficients variables. La solution $u$ est décomposée en une partie linéaire ($u_L$), une partie bilinéaire ($u_N$) et des termes de reste ($u_R$) provenant de la variation spatiale de $\rho$ et de la nature non locale de la pression.
2. Cadre fonctionnel : Les auteurs introduisent un espace à norme mixte $X_T$ pour capturer à la fois les comportements critiques et subcritiques. La norme $\|u\|_{X_T}$ combine :
   • Une composante critique impliquant des bornes $L^\infty$ pondérées par $t^{1/2}$, des normes de type $VMO^{-1}$ ($V^b_T$), et la continuité de Hölder dans le temps.
   • Une composante subcritique impliquant des normes $L^{12}$ et une continuité de Hölder d'ordre supérieur dans le temps.
     L'inclusion de la norme $L^{12}$ est motivée par le fait que la projection de Leray n'est pas bornée sur $L^\infty mais l'est sur$L^p$ pour $p \in (1, \infty)$.
3. Régularité de la densité : Puisque la norme Lipschitz du gradient de la vitesse se comporte comme $t^{-1}$ (non intégrable), l'équation de transport de la densité entraîne une perte de régularité spatiale. Les auteurs établissent que si la densité initiale est de classe $C^1$ (ou $C^2$), la solution conserve une régularité de Hölder spécifique pour des temps courts, contrôlée par une norme auxiliaire $\|u\|_T$.
4. Estimations des termes de reste : Une contribution technique significative est l'estimation rigoureuse des termes de reste ($u_{R1}, u_{R2}, u_{R3}$). Ces termes impliquent la différence $\rho(y) - \rho(x_0)$. Les auteurs utilisent des normes de Hölder pondérées par le temps et des estimations d'énergie (spécifiquement $\sup t \|u_t\|_{L^2} < \infty$) pour compenser la perte de régularité spatiale de la densité. Le Lemme 4.1 fournit un outil crucial pour estimer les différences temporelles d'intégrales impliquant le noyau de la chaleur avec des coefficients variables.

Résultats Clés

• Existence Locale (Théorème 1.1) :
  Les auteurs prouvent l'existence locale d'une solution forte pour des données initiales $(\rho_0, u_0)$ où :

  • $\rho_0 \in C^1$ avec une borne inférieure positive ($0 < C_1 < \rho_0 < C_2 < \infty$).
  • $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$.
  • La norme $BMO^{-1}_b$ localisée de $u_0$ est suffisamment petite ($\le \epsilon_0$).
    La solution existe sur un intervalle de temps $[0, T]$ où $T \sim b^2$. La vitesse satisfait des estimations spécifiques dans la norme $X_T$, et la densité reste bornée.

• Existence Globale (Théorème 1.2) :
  Sous l'hypothèse que la densité initiale est proche d'une constante ($\rho_0 \in C^2$) et que la vitesse initiale est suffisamment petite dans la norme $BMO^{-1}$ (spécifiquement $\|\rho_0 - 1\|_{L^\infty} + \|u_0\|_{BMO^{-1}} < \epsilon_2$), les auteurs établissent l'existence globale d'une solution forte.

  • La preuve repose sur un argument de « bootstrapping » : utiliser le résultat d'existence locale pour montrer que la solution devient suffisamment régulière et petite à un temps court $T^*/2$ pour satisfaire la condition de petitesse requise pour l'existence globale dans l'espace de Besov $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ (en se référant au Théorème 6.1 de [25]).
  • L'exigence $\rho_0 \in C^2$ est nécessaire pour garantir que le temps d'existence maximal dans l'estimation locale ne dépende pas du paramètre de petitesse d'une manière qui empêcherait l'extension globale.

Signification et Revendications
L'article affirme étendre la théorie de la bien-posée des équations de Navier-Stokes inhomogènes à l'espace critique $VMO^{-1}$ pour la vitesse, un cadre incluant des données possédant une régularité négative.

• Nouveauté de la Régularité : Contrairement aux résultats précédents exigeant $u_0 \in L^p$ ($p>2$) ou des espaces de Besov spécifiques, ce travail accepte $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$.
• Gestion de l'Inhomogénéité : Les auteurs ont réussi à adapter la méthode de gel de coefficient au cas inhomogène, surmontant la difficulté que l'équation de transport de la densité cause une perte de régularité spatiale. Ils y parviennent en exploitant la régularité temporelle et en utilisant des normes subcritiques pour contrôler les termes de reste.
• Unicité : L'article note explicitement que l'établissement de l'unicité sous les hypothèses du Théorème 1.1 (spécifiquement pour $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$ sans condition de petitesse) demeure un problème ouvert. La méthodologie utilisée pour l'existence ne permet pas actuellement d'établir l'unicité dans ce cadre critique, ce qui distingue ce travail des résultats classiques de Koch et Tataru [29] pour les équations de Navier-Stokes homogènes dans $BMO^{-1}$.

Conclusion
Ce travail fournit un cadre rigoureux pour résoudre les équations de Navier-Stokes 3D inhomogènes avec des vitesses initiales de faible régularité dans $VMO^{-1}$. En combinant les estimations de l'équation de transport avec une technique raffinée de gel de coefficient et un espace fonctionnel à norme mixte soigneusement construit, les auteurs établissent l'existence locale pour des densités bornées générales et l'existence globale lorsque la densité est proche d'une constante et la vitesse est petite. Ces résultats représentent une avancée significative dans la compréhension de la bien-posée des mélanges de fluides à densités variables dans les espaces de fonctions critiques.