Solutions of the 3D inhomogeneous incompressible Navier-Stokes system with initial velocity in $VMO^{-1}$

Resumen Técnico: Soluciones del Sistema de Navier-Stokes Incompresible Inhomogéneo 3D con Velocidad Inicial en $VMO^{-1}$

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga el problema de valor inicial para las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles inhomogéneas tridimensionales:
$$\begin{cases} \partial_t \rho + u \cdot \nabla \rho = 0, \\ \partial_t (\rho u) + \text{div}(\rho u \otimes u) - \Delta u + \nabla P = 0, \\ \nabla \cdot u = 0, \\ (\rho, u)|_{t=0} = (\rho_0, u_0). \end{cases}$$
El sistema modela mezclas de fluidos incompresibles inmiscibles con densidades variables. El desafío principal abordado es la existencia de soluciones fuertes cuando la velocidad inicial posee una baja regularidad, específicamente perteneciendo al espacio $L^2 \cap VMO^{-1}$, y la densidad inicial $\rho_0$ es simplemente acotada por un valor positivo (con regularidad $C^1$ o $C^2$). El espacio $VMO^{-1}$ es un subespacio del espacio crítico $BMO^{-1}$, definido como el cierre de funciones suaves con soporte compacto en la norma $BMO^{-1}$.

Metodología
Los autores emplean un método de "congelación de coeficientes" adaptado de [12] para manejar la inhomogeneidad espacial de la densidad. La estrategia central involucra los siguientes pasos:

1. Descomposición mediante Congelación de Coeficientes: Para un punto fijo $x_0$, la ecuación de cantidad de movimiento se proyecta utilizando el operador de Leray $\mathbb{P}$, y el coeficiente de densidad $\rho$ se congela en $\rho_0(x_0)$. Esto transforma la ecuación en una ecuación de tipo calor con coeficientes variables. La solución $u$ se descompone en una parte lineal ($u_L$), una parte bilineal ($u_N$) y términos de resto ($u_R$) que surgen de la variación espacial de $\rho$ y la naturaleza no local de la presión.
2. Marco Funcional: Los autores introducen un espacio de norma mixta $X_T$ para capturar comportamientos tanto críticos como subcríticos. La norma $\|u\|_{X_T}$ combina:
   • Un componente crítico que involucra cotas $L^\infty$ ponderadas por $t^{1/2}$, normas de tipo $V^b_T$ ($VMO^{-1}$) y continuidad Hölder en el tiempo.
   • Un componente subcrítico que involucra normas $L^{12}$ y una mayor continuidad Hölder en el tiempo.
     La inclusión de la norma $L^{12}$ está motivada por el hecho de que la proyección de Leray no es acotada en $L^\infty, pero sí lo es en$L^p$ para $p \in (1, \infty)$.
3. Regularidad de la Densidad: Dado que la norma Lipschitz del gradiente de la velocidad se comporta como $t^{-1}$ (no integrable), la ecuación de transporte para la densidad provoca una pérdida de regularidad espacial. Los autores establecen que si la densidad inicial está en $C^1$ (o $C^2$), la solución retiene una regularidad Hölder específica para tiempos pequeños, controlada por una norma auxiliar $\|u\|_T$.
4. Estimaciones para Términos de Resto: Una contribución técnica significativa es la estimación rigurosa de los términos de resto ($u_{R1}, u_{R2}, u_{R3}$). Estos términos involucran la diferencia $\rho(y) - \rho(x_0)$. Los autores utilizan normas Hölder ponderadas en el tiempo y estimaciones de energía (específicamente $\sup t \|u_t\|_{L^2} < \infty$) para compensar la pérdida de regularidad espacial en la densidad. El Lema 4.1 proporciona una herramienta crucial para estimar las diferencias temporales de integrales que involucran el núcleo de calor con coeficientes variables.

Resultados Clave

• Existencia Local (Teorema 1.1):
  Los autores prueban la existencia local de una solución fuerte para datos iniciales $(\rho_0, u_0)$ donde:

  • $\rho_0 \in C^1$ con un límite inferior positivo ($0 < C_1 < \rho_0 < C_2 < \infty$).
  • $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$.
  • La norma localizada $BMO^{-1}$ $\|u_0\|_{BMO^{-1}_b}$ es suficientemente pequeña ($\le \epsilon_0$).
    La solución existe en un intervalo de tiempo $[0, T]$ donde $T \sim b^2$. La velocidad satisface cotas específicas en la norma $X_T$, y la densidad permanece acotada.

• Existencia Global (Teorema 1.2):
  Bajo el supuesto de que la densidad inicial es cercana a una constante ($\rho_0 \in C^2$) y la velocidad inicial es suficientemente pequeña en la norma $BMO^{-1}$ (específicamente $\|\rho_0 - 1\|_{L^\infty} + \|u_0\|_{BMO^{-1}} < \epsilon_2$), los autores establecen la existencia global de una solución fuerte.

  • La prueba se basa en un argumento de "bootstrapping": utilizando el resultado de existencia local para mostrar que la solución se vuelve suficientemente regular y pequeña en un tiempo corto $T^*/2$ para satisfacer la condición de pequeñez requerida para la existencia global en el espacio de Besov $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ (refiriéndose al Teorema 6.1 de [25]).
  • El requisito de que $\rho_0 \in C^2$ es necesario para asegurar que el tiempo de existencia máxima en la estimación local no dependa del parámetro de pequeñez de una manera que impida la extensión global.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma extender la teoría de la buena definición (well-posedness) para las ecuaciones de Navier-Stokes inhomogéneas al espacio crítico $VMO^{-1}$ para la velocidad, un entorno que incluye datos con regularidad negativa.

• Novedad en la Regularidad: A diferencia de resultados previos que requieren $u_0 \in L^p$ ($p>2$) o espacios de Besov específicos, este trabajo acomoda $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$.
• Manejo de la Inhomogeneidad: Los autores logran adaptar con éxito el método de congelación de coeficientes al caso inhomogéneo, superando la dificultad de que la ecuación de transporte de la densidad cause una pérdida de regularidad espacial. Logran esto explotando la regularidad temporal y utilizando normas subcríticas para controlar los términos de resto.
• Unicidad: El artículo señala explícitamente que establecer la unicidad bajo los supuestos del Teorema 1.1 (específicamente para $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$ sin la condición de pequeñez) sigue siendo un problema abierto. La metodología utilizada para la existencia no produce actualmente la unicidad en este entorno crítico, distinguiéndose de los resultados clásicos de $BMO^{-1}$ para Navier-Stokes homogéneos de Koch y Tataru [29].

Conclusión
Este trabajo proporciona un marco riguroso para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes 3D inhomogéneas con velocidades iniciales de baja regularidad en $VMO^{-1}$. Al combinar estimaciones de la ecuación de transporte con una técnica refinada de congelación de coeficientes y un espacio funcional de norma mixta cuidadosamente construido, los autores establecen la existencia local para densidades acotadas generales y la existencia global cuando la densidad es cercana a una constante y la velocidad es pequeña. Los resultados representan un paso significativo hacia la comprensión de la buena definición de mezclas de fluidos con densidades variables en espacios funcionales críticos.