Solutions of the 3D inhomogeneous incompressible Navier-Stokes system with initial velocity in $VMO^{-1}$

Technische Samenvatting: Oplossingen van het 3D inhomogene incompressibele Navier-Stokes systeem met initiële snelheid in $VMO^{-1}$

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt het beginwaardeprobleem voor de driedimensionale inhomogene incompressibele Navier–Stokes-vergelijkingen:
$$\begin{cases} \partial_t \rho + u \cdot \nabla \rho = 0, \\ \partial_t (\rho u) + \text{div}(\rho u \otimes u) - \Delta u + \nabla P = 0, \\ \nabla \cdot u = 0, \\ (\rho, u)|_{t=0} = (\rho_0, u_0). \end{cases}$$
Het systeem modelleert mengsels van onmengbare incompressibele vloeistoffen met variërende dichtheden. De primaire uitdaging die wordt aangepakt, is de existentie van sterke oplossingen wanneer de initiële snelheid $u_0$ een lage regulariteit bezit, specifiek liggend in de ruimte $L^2 \cap VMO^{-1}$, en de initiële dichtheid $\rho_0$ louter begrensd is van nul af (met $C^1$- of $C^2$-regulariteit). De ruimte $VMO^{-1}$ is een deelruimte van de kritische ruimte $BMO^{-1}$, gedefinieerd als de afsluiting van gladde functies met compact ondersteuning in de $BMO^{-1}$-norm.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een "freezing coefficient"-methode, aangepast van [12], om de ruimtelijke inhomogeniteit van de dichtheid te behandelen. De kernstrategie omvat de volgende stappen:

1. Decompositie via bevroren coëfficiënten: Voor een vast punt $x_0$ wordt de impulsvergelijking geprojecteerd met behulp van de Leray-operator $\mathbb{P}$, waarbij de dichtheidscoëfficiënt $\rho$ wordt bevroren op $\rho_0(x_0)$. Dit transformeert de vergelijking naar een warmte-type vergelijking met variabele coëfficiënten. De oplossing $u$ wordt gedecomposeerd in een lineair deel ($u_L$), een bilineair deel ($u_N$) en resttermen ($u_R$) die voortvloeien uit de ruimtelijke variatie van $\rho$ en de niet-lokale aard van de druk.
2. Functioneel kader: De auteurs introduceren een gemengde-normruimte $X_T$ om zowel kritisch als subkritisch gedrag te vatten. De norm $\|u\|_{X_T}$ combineert:
   • Een kritisch component bestaande uit $L^\infty$-begrenzingen gewogen door $t^{1/2}$, $VMO^{-1}$-type normen ($V^b_T$), en Hölder-continuïteit in de tijd.
   • Een subkritisch component bestaande uit $L^{12}$-normen en hogere-orde tijd-Hölder-continuïteit.
     De inclusie van de $L^{12}$-norm wordt gemotiveerd door het feit dat de Leray-projectie niet begrensd is op $L^\infty$, maar wel begrensd is op $L^p$ voor $p \in (1, \infty)$.
3. Regulariteit van de dichtheid: Omdat de Lipschitz-norm van de snelheidgradiënt zich gedraagt als $t^{-1}$ (niet-integreerbaar), leidt de transportvergelijking voor de dichtheid tot een verlies van ruimtelijke regulariteit. De auteurs stellen vast dat indien de initiële dichtheid in $C^1$ (of $C^2$) is, de oplossing een specifieke Hölder-regulariteit behoudt voor kleine tijden, gecontroleerd door een hulp-norm $\|u\|_T$.
4. Schattingen voor resttermen: Een belangrijke technische bijdrage is de rigoureuze schatting van de resttermen ($u_{R1}, u_{R2}, u_{R3}$). Deze termen bevatten het verschil $\rho(y) - \rho(x_0)$. De auteurs maken gebruik van tijd-gewogen Hölder-normen en energie-schattingen (specifiek $\sup t \|u_t\|_{L^2} < \infty$) om het verlies van ruimtelijke regulariteit in de dichtheid te compenseren. Lemma 4.1 biedt een cruciaal instrument voor het schatten van tijdsverschillen van integralen met behulp van de hittekern met variabele coëfficiënten.

Belangrijkste Resultaten

• Lokale Existentie (Theorem 1.1):
  De auteurs bewijzen de lokale existentie van een sterke oplossing voor initiële data $(\rho_0, u_0)$ waarbij:

  • $\rho_0 \in C^1$ met een positieve ondergrens ($0 < C_1 < \rho_0 < C_2 < \infty$).
  • $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$.
  • De gelokaliseerde $BMO^{-1}$-norm $\|u_0\|_{BMO^{-1}_b}$ voldoende klein is ($\le \epsilon_0$).
    De oplossing bestaat op een tijdsinterval $[0, T]$ waar $T \sim b^2$. De snelheid voldoet aan specifieke grenzen in de $X_T$-norm, en de dichtheid blijft begrensd.

• Globale Existentie (Theorem 1.2):
  Onder de aanname dat de initiële dichtheid dicht bij een constante ligt ($\rho_0 \in C^2$) en de initiële snelheid voldoende klein is in de $BMO^{-1}$-norm (specifiek $\|\rho_0 - 1\|_{L^\infty} + \|u_0\|_{BMO^{-1}} < \epsilon_2$), stellen de auteurs de globale existentie van een sterke oplossing vast.

  • Het bewijs steunt op een "bootstrapping"-argument: het gebruik van de lokale existentie-resultaten om aan te tonen dat de oplossing voldoende regulier en klein wordt op een korte tijd $T^*/2$, zodat het voldoet aan de kleinheidsvoorwaarde die vereist is voor globale existentie in de Besov-ruimte $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ (refererend aan Theorem 6.1 uit [25]).
  • De vereiste dat $\rho_0 \in C^2$ is noodzakelijk om te waarborgen dat de maximale existentietijd in de lokale schatting niet afhankelijk is van de kleinheidsparameter op een wijze die globale extensie verhindert.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de welbehandenheidstheorie voor inhomogene Navier-Stokes-vergelijkingen uit te breiden naar de kritische ruimte $VMO^{-1}$ voor de snelheid, een setting die data met negatieve regulariteit omvat.

• Nieuwigheid in Regulariteit: In tegenstelling tot eerdere resultaten die $u_0 \in L^p$ ($p>2$) of specifieke Besov-ruimten vereisten, accommodated dit werk $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$.
• Behandeling van Inhomogeniteit: De auteurs hebben de "freezing coefficient"-methode succesvol aangepast aan het inhomogene geval, waarbij zij de moeilijkheid overwinnen dat de transportvergelijking voor de dichtheid een verlies van ruimtelijke regulariteit veroorzaakt. Zij bereiken dit door de tijdsregulariteit te exploiteren en subkritische normen te gebruiken om de resttermen te controleren.
• Uniciteit: Het artikel merkt expliciet op dat het vaststellen van uniciteit onder de aannames van Theorem 1.1 (specifiek voor $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$ zonder kleinheid) een openstaand probleem blijft. De gebruikte methodologie voor existentie levert momenteel geen uniciteit op in deze kritische setting, wat het onderscheidt van de klassieke $BMO^{-1}$-resultaten voor homogene Navier-Stokes-vergelijkingen door Koch en Tataru [29].

Conclusie
Dit werk biedt een rigoureus kader voor het oplossen van de 3D inhomogene Navier-Stokes-vergelijkingen met laag-regulariteit initiële snelheden in $VMO^{-1}$. Door de combinatie van transportvergelijking-schattingen met een verfijnde "freezing coefficient"-techniek en een zorgvuldig geconstrueerde gemengde-norm functionele ruimte, stellen de auteurs lokale existentie vast voor algemene begrensde dichtheden en globale existentie wanneer de dichtheid dicht bij een constante ligt en de snelheid klein is. De resultaten vormen een belangrijke stap voorwaarts in het begrijpen van de welbehandenheid van vloeistofmengsels met variërende dichtheden in kritische functieruimten.