Solutions of the 3D inhomogeneous incompressible Navier-Stokes system with initial velocity in $VMO^{-1}$

Resumo Técnico: Soluções do Sistema de Navier-Stokes Incompressível Inhomogêneo 3D com Velocidade Inicial em $VMO^{-1}$

Enunciado do Problema
Este artigo investiga o problema de valor inicial para as equações de Navier-Stokes incompressíveis inhomogêneas tridimensionais:
$$\begin{cases} \partial_t \rho + u \cdot \nabla \rho = 0, \\ \partial_t (\rho u) + \text{div}(\rho u \otimes u) - \Delta u + \nabla P = 0, \\ \nabla \cdot u = 0, \\ (\rho, u)|_{t=0} = (\rho_0, u_0). \end{cases}$$
O sistema modela misturas de fluidos incompressíveis imiscíveis com densidades variáveis. O principal desafio abordado é a existência de soluções fortes quando a velocidade inicial $u_0$ possui baixa regularidade, especificamente pertencendo ao espaço $L^2 \cap VMO^{-1}$, e a densidade inicial $\rho_0$ é meramente limitada inferiormente por um valor positivo (com regularidade $C^1$ ou $C^2$). O espaço $VMO^{-1}$ é um subespaço do espaço crítico $BMO^{-1}$, definido como o fechamento de funções suaves com suporte compacto na norma $BMO^{-1}$.

Metodologia
Os autores empregam um método de "congelamento de coeficiente" adaptado de [12] para lidar com a inhomogeneidade espacial da densidade. A estratégia central envolve as seguintes etapas:

1. Decomposição via Congelamento de Coeficientes: Para um ponto fixo $x_0$, a equação de momento é projetada usando o operador de Leray $\mathbb{P}$, e o coeficiente de densidade $\rho$ é congelado em $\rho_0(x_0)$. Isso transforma a equação em uma equação do tipo calor com coeficientes variáveis. A solução $u$ é decomposta em uma parte linear ($u_L$), uma parte bilinear ($u_N$) e termos de resto ($u_R$) decorrentes da variação espacial de $\rho$ e da natureza não local da pressão.
2. Estrutura Funcional: Os autores introduzem um espaço de norma mista $X_T$ para capturar comportamentos tanto críticos quanto subcríticos. A norma $\|u\|_{X_T}$ combina:
   • Um componente crítico envolvendo limites $L^\infty$ ponderados por $t^{1/2}$, normas do tipo $V^b_T$ ($VMO^{-1}$) e continuidade de Hölder no tempo.
   • Um componente subcrítico envolvendo normas $L^{12}$ e continuidade de Hölder de ordem superior no tempo.
     A inclusão da norma $L^{12}$ é motivada pelo fato de que a projeção de Leray não é limitada em $L^\infty$, mas é limitada em $L^p$ para $p \in (1, \infty)$.
3. Regularidade da Densidade: Como a norma Lipschitz do gradiente da velocidade se comporta como $t^{-1}$ (não integrável), a equação de transporte para a densidade leva a uma perda de regularidade espacial. Os autores estabelecem que, se a densidade inicial estiver em $C^1$ (ou $C^2$), a solução retém uma regularidade de Hölder específica para tempos pequenos, controlada por uma norma auxiliar $\|u\|_T$.
4. Estimativas para Termos de Resto: Uma contribuição técnica significativa é a estimativa rigorosa dos termos de resto ($u_{R1}, u_{R2}, u_{R3}$). Esses termos envolvem a diferença $\rho(y) - \rho(x_0)$. Os autores utilizam normas de Hölder ponderadas no tempo e estimativas de energia (especificamente $\sup t \|u_t\|_{L^2} < \infty$) para compensar a perda de regularidade espacial na densidade. O Lema 4.1 fornece uma ferramenta crucial para estimar diferenças temporais de integrais envolvendo o núcleo de calor com coeficientes variáveis.

Resultados Principais

• Existência Local (Teorema 1.1):
  Os autores provam a existência local de uma solução forte para dados iniciais $(\rho_0, u_0)$ onde:

  • $\rho_0 \in C^1$ com um limite inferior positivo ($0 < C_1 < \rho_0 < C_2 < \infty$).
  • $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$.
  • A norma $BMO^{-1}$ localizada $\|u_0\|_{BMO^{-1}_b}$ é suficientemente pequena ($\le \epsilon_0$).
    A solução existe em um intervalo de tempo $[0, T]$ onde $T \sim b^2$. A velocidade satisfaz limites específicos na norma $X_T$, e a densidade permanece limitada.

• Existência Global (Teorema 1.2):
  Sob a suposição de que a densidade inicial é próxima de uma constante ($\rho_0 \in C^2$) e a velocidade inicial é suficientemente pequena na norma $BMO^{-1}$ (especificamente $\|\rho_0 - 1\|_{L^\infty} + \|u_0\|_{BMO^{-1}} < \epsilon_2$), os autores estabelecem a existência global de uma solução forte.

  • A prova baseia-se em um argumento de "bootstrapping": utilizando o resultado de existência local para mostrar que a solução torna-se suficientemente regular e pequena em um tempo curto $T^*/2$ para satisfazer a condição de pequenez necessária para a existência global no espaço de Besov $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ (referenciando o Teorema 6.1 de [25]).
  • O requisito de $\rho_0 \in C^2$ é necessário para garantir que o tempo máximo de existência na estimativa local não dependa do parâmetro de pequenez de uma forma que impeça a extensão global.

Significância e Alegações
O artigo afirma estender a teoria de bem-posto para as equações de Navier-Stokes inhomogêneas para o espaço crítico $VMO^{-1}$ para a velocidade, um cenário que inclui dados com baixa regularidade.

• Novidade na Regularidade: Diferente de resultados anteriores que exigem $u_0 \in L^p$ ($p>2$) ou espaços de Besov específicos, este trabalho acomoda $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$.
• Lidando com a Inhomogeneidade: Os autores adaptam com sucesso o método de congelamento de coeficientes para o caso inhomogêneo, superando a dificuldade de que a equação de transporte da densidade causa uma perda de regularidade espacial. Eles alcançam isso explorando a regularidade temporal e utilizando normas subcríticas para controlar os termos de resto.
• Unicidade: O artigo observa explicitamente que estabelecer a unicidade sob as suposições do Teorema 1.1 (especificamente para $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$ sem a condição de pequenez) permanece um problema em aberto. A metodologia utilizada para a existência não produz atualmente unicidade neste cenário crítico, distinguindo-se dos resultados clássicos de $BMO^{-1}$ para Navier-Stokes homogêneo de Koch e Tataru [29].

Conclusão
Este trabalho fornece um arcabouço rigoroso para resolver as equações de Navier-Stokes tridimensionais inhomogêneas com velocidades iniciais de baixa regularidade em $VMO^{-1}$. Ao combinar estimativas da equação de transporte com uma técnica refinada de congelamento de coeficientes e um espaço funcional de norma mista cuidadosamente construído, os autores estabelecem a existência local para densidades limitadas gerais e a existência global quando a densidade é próxima de uma constante e a velocidade é pequena. Os resultados representam um passo significativo no entendimento da bem-postura de misturas de fluidos com densidades variáveis em espaços funcionais críticos.