Solutions of the 3D inhomogeneous incompressible Navier-Stokes system with initial velocity in $VMO^{-1}$

Sintesi Tecnica: Soluzioni del sistema di Navier-Stokes incomprimibile incomogene 3D con velocità iniziale in $VMO^{-1}$

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga il problema del valore iniziale per le equazioni di Navier-Stokes incomprimibili incomogene tridimensionali:
$$\begin{cases} \partial_t \rho + u \cdot \nabla \rho = 0, \\ \partial_t (\rho u) + \text{div}(\rho u \otimes u) - \Delta u + \nabla P = 0, \\ \nabla \cdot u = 0, \\ (\rho, u)|_{t=0} = (\rho_0, u_0). \end{cases}$$
Il sistema modella miscele di fluidi incomprimibili immiscibili con densità variabili. La sfida principale affrontata è l'esistenza di soluzioni forti quando la velocità iniziale possiede una bassa regolarità, specificamente risiedendo nello spazio $L^2 \cap VMO^{-1}$, e la densità iniziale $\rho_0$ è semplicemente limitata superiormente da uno zero (con regolarità $C^1$ o $C^2$). Lo spazio $VMO^{-1}$ è un sottospazio dello spazio critico $BMO^{-1}$, definito come la chiusura delle funzioni regolari con supporto compatto nella norma $BMO^{-1}$.

Metodologia
Gli autori utilizzano un metodo di "congelamento dei coefficienti" adattato da [12] per gestire l'inomogeneità spaziale della densità. La strategia centrale prevede i seguenti passaggi:

1. Decomposizione tramite congelamento dei coefficienti: Per un punto fisso $x_0$, l'equazione del momento viene proiettata tramite l'operatore di Leray $\mathbb{P}$, e il coefficiente di densità $\rho$ viene congelato in $\rho_0(x_0)$. Ciò trasforma l'equazione in un'equazione di tipo calore con coefficienti variabili. La soluzione $u$ viene decomposta in una parte lineare ($u_L$), una parte bilineare ($u_N$) e termini di resto ($u_R$) derivanti dalla variazione spaziale di $\rho$ e dalla natura non locale della pressione.
2. Framework Funzionale: Gli autori introducono uno spazio a norma mista $X_T$ per catturare sia i comportamenti critici che quelli subcritici. La norma $\|u\|_{X_T}$ combina:
   • Una componente critica che coinvolge limiti $L^\infty$ pesati da $t^{1/2}$, norme di tipo $V^b_T$ ($VMO^{-1}$), e continuità di Hölder nel tempo.
   • Una componente subcritica che coinvolge norme $L^{12}$ e una maggiore continuità di Hölder temporale. L'inclusione della norma $L^{12}$ è motivata dal fatto che la proiezione di Leray non è limitata su $L^\infty ma è limitata su$L^p$ per $p \in (1, \infty)$.
3. Regolarità della Densità: Poiché la norma Lipschitz del gradiente della velocità si comporta come $t^{-1}$ (non integrabile), l'equazione di trasporto per la densità porta a una perdita di regolarità spaziale. Gli autori stabiliscono che, se la densità iniziale è in $C^1$ (o $C^2$), la soluzione mantiene una specifica regolarità di Hölder per tempi piccoli, controllata da una norma ausiliaria $\|u\|_T$.
4. Stime per i Termini di Resto: Un contributo tecnico significativo riguarda la rigorosa stima dei termini di resto ($u_{R1}, u_{R2}, u_{R3}$). Questi termini coinvolgono la differenza $\rho(y) - \rho(x_0)$. Gli autori utilizzano norme di Hölder pesate nel tempo ed stime di energia (specificamente $\sup t \|u_t\|_{L^2} < \infty$) per compensare la perdita di regolarità spaziale della densità. Il Lemma 4.1 fornisce uno strumento cruciale per stimare le differenze temporali di integrali che coinvolgono il nucleo del calore con coefficienti variabili.

Risultati Chiave

• Esistenza Locale (Teorema 1.1):
  Gli autori dimostrano l'esistenza locale di una soluzione forte per i dati iniziali $(\rho_0, u_0)$ dove:

  • $\rho_0 \in C^1$ con un limite inferiore positivo ($0 < C_1 < \rho_0 < C_2 < \infty$).
  • $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$.
  • La norma localizzata $BMO^{-1}$ $\|u_0\|_{BMO^{-1}_b}$ è sufficientemente piccola ($\le \epsilon_0$).
    La soluzione esiste su un intervallo temporale $[0, T]$ dove $T \sim b^2$. La velocità soddisfa specifici limiti nella norma $X_T$, e la densità rimane limitata.

• Esistenza Globale (Teorema 1.2):
  Sotto l'assunto che la densità iniziale sia vicina a una costante ($\rho_0 \in C^2$) e la velocità iniziale sia sufficientemente piccola nella norma $BMO^{-1}$ (specificamente $\|\rho_0 - 1\|_{L^\infty} + \|u_0\|_{BMO^{-1}} < \epsilon_2$), gli autori stabiliscono l'esistenza globale di una soluzione forte.

  • La prova si basa su un argomento di "bootstrapping": l'utilizzo del risultato di esistenza locale per dimostrare che la soluzione diventa sufficientemente regolare e piccola a un breve tempo $T^*/2$ per soddisfare la condizione di piccolezza richiesta per l'esistenza globale nello spazio di Besov $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ (facendo riferimento al Teorema 6.1 di [25]).
  • Il requisito $\rho_0 \in C^2$ è necessario per garantire che il tempo di esistenza massima nella stima locale non dipenda dal parametro di piccolezza in modo tale da impedire l'estensione globale.

Significato e Rivendicazioni
L'articolo sostiene di estendere la teoria della ben determinazione per le equazioni di Navier-Stokes incomensurabili alla classe critica $VMO^{-1}$ per la velocità, un contesto che include dati con regolarità negativa.

• Novità nella Regolarità: A differenza dei risultati precedenti che richiedevano $u_0 \in L^p$ ($p>2$) o specifici spazi di Besov, questo lavoro accoglie $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$.
• Gestione dell'Inomogeneità: Gli autori riescono ad adattare il metodo del congelamento dei coefficienti al caso incomensurabile, superando la difficoltà per cui l'equazione di trasporto della densità causa una perdita di regolarità spaziale. Essi ottengono questo sfruttando la regolarità temporale e utilizzando norme subcritiche per controllare i termini di resto.
• Unicità: Il documento nota esplicitamente che stabilire l'unicità sotto gli assunti del Teorema 1.1 (specificamente per $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$ senza la condizione di piccolezza) rimane un problema aperto. La metodologia utilizzata per l'esistenza non produce attualmente l'unicità in questo setting critico, distinguendosi dai classici risultati $BMO^{-1}$ per le equazioni di Navier-Stokes omogenee di Koch e Tataru [29].

Conclusione
Questo lavoro fornisce un quadro rigoroso per risolvere le equazioni di Navier-Stokes incomensurabili 3D con velocità iniziali a bassa regolarità in $VMO^{-1}$. Combinando stime dell'equazione di trasporto con una tecnica raffinata di congelamento dei coefficienti e uno spazio funzionale a norma mista accuratamente costruito, gli autori stabiliscono l'esistenza locale per densità limitate generali e l'esistenza globale quando la densità è vicina a una costante e la velocità è piccola. I risultati rappresentano un passo avanti significativo nella comprensione della ben determinazione delle miscele di fluidi con densità variabili in spazi funzionali critici.