Solutions of the 3D inhomogeneous incompressible Navier-Stokes system with initial velocity in $VMO^{-1}$

技术摘要：初始速度在 $VMO^{-1}$ 中的三维非均匀不可压缩 Navier–Stokes 系统解的研究

问题陈述
本文研究了三维非均匀不可压缩 Navier–Stokes 方程的初值问题：
$$\begin{cases} \partial_t \rho + u \cdot \nabla \rho = 0, \\ \partial_t (\rho u) + \text{div}(\rho u \otimes u) - \Delta u + \nabla P = 0, \\ \nabla \cdot u = 0, \\ (\rho, u)|_{t=0} = (\rho_0, u_0). \end{cases}$$
该系统模拟了具有不同密度的不混溶不可压缩流体的混合过程。本文解决的主要挑战在于，当初始速度 $u_0$ 具有较低的正则性（具体而言，属于 $L^2 \cap VMO^{-1}$ 空间）且初始密度 $\rho_0$ 仅为有界远离零（具有 $C^1$ 或 $C^2$ 正则性）时，强解的存在性问题。$VMO^{-1}$ 是临界空间 $BMO^{-1}$ 的一个子空间，定义为在 $BMO^{-1}$ 范数下紧支撑光滑函数的闭包。

研究方法
作者采用了从 [12] 改进的“冻结系数”方法来处理密度的空间非均匀性。核心策略包括以下步骤：

1. 通过冻结系数进行分解： 对于一个固定的点 $x_0$，利用 Leray 算子 $\mathbb{P}$ 对动量方程进行投影，并将密度系数 $\rho$ 冻结在 $\rho_0(x_0)$。这将其转化为一个具有变系数的类热传导方程。解 $u$ 被分解为线性部分 ($u_L$)、双线性部分 ($u_N$) 以及由 $\rho$ 的空间变化和压力的非局部性质产生的剩余项 ($u_R$)。
2. 函数框架： 作者引入了一个混合范数空间 $X_T$ 来捕捉临界与亚临界行为。其范数 $\|u\|_{X_T}$ 结合了：
   • 一个临界分量，涉及由 $t^{1/2}$ 加权的 $L^\infty$ 界、$VMO^{-1}$ 型范数 ($V^b_T$) 以及时间上的 Hölder 连续性。
   • 一个亚临界分量，涉及 $L^{12}$ 范数和更高阶的时间 Hölder 连续性。
     引入 $L^{12}$ 范数的动机在于 Leray 投影在 $L^\infty$ 上不是有界的，但在 $L^p$ ($p \in (1, \infty)$) 上是有界的。
3. 密度的正则性： 由于速度梯度的 Lipschitz 范数表现为 $t^{-1}$（不可积），密度传输方程会导致空间正则性的损失。作者建立，若初始密度属于 $C^1$（或 $C^2$），则解在短时间内保持特定的 Hölder 正则性，并受辅助范数 $\|u\|_T$ 控制。
4. 剩余项的估计： 一个重要的技术贡献是对剩余项 ($u_{R1}, u_{R2}, u_{R3}$) 进行严格估计。这些项涉及 $\rho(y) - \rho(x_0)$。作者利用时间加权 Hölder 范数和能量估计（特别是 $\sup t \|u_t\|_{L^2} < \infty$）来补偿密度空间正则性的损失。引理 4.1 为估计涉及变系数热核的积分的时间差提供了关键工具。

主要结果

• 局部存在性 (定理 1.1)：
  作者证明了对于满足以下条件的初始数据 $(\rho_0, u_0)$，强解的局部存在性：

  • $\rho_0 \in C^1$ 且具有正下界 ($0 < C_1 < \rho_0 < C_2 < \infty$)。
  • $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$。
  • 局部化 $BMO^{-1}$ 范数 $\|u_0\|_{BMO^{-1}_b}$ 足够小 ($\le \epsilon_0$)。
    解存在于时间区间 $[0, T]$ 上，其中 $T \sim b^2$。速度在 $X_T$ 范数下满足特定的界限，且密度保持有界。

• 全局存在性 (定理 1.2)：
  在假设初始密度接近常数（$\rho_0 \in C^2$）且初始速度在 $BMO^{-1}$ 范数下足够小（具体为 $\|\rho_0 - 1\|_{L^\infty} + \|u_0\|_{BMO^{-1}} < \epsilon_2$）的情况下，作者建立了强解的全局存在性。

  • 证明依赖于“引导”（bootstrapping）论证：利用局部存在性结果，证明解在短时间 $T^*/2$ 时变得足够正则且足够小，从而满足 Besov 空间 $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ 中全局存在性所需的微小性条件（参考 [25] 中的定理 6.1）。
  • 对 $\rho_0 \in C^2$ 的要求是必要的，以确保局部估计中的最大存在时间不会以一种阻碍全局延拓的方式依赖于微小性参数。

意义与主张
本文声称将非均匀 Navier–Stokes 方程的适定性理论扩展到了速度处于临界空间 $VMO^{-1}$ 的情况，这一设定涵盖了具有负正则性的数据。

• 正则性的新颖性： 不同于以往要求 $u_0 \in L^p$ ($p>2$) 或特定 Besov 空间的结论，这项工作容纳了 $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$。
• 处理非均匀性： 作者成功地将冻结系数方法应用于非均匀情形，克服了密度传输方程导致空间正则性损失的困难。他们通过利用时间正则性并使用亚临界范数来控制剩余项，实现了这一目标。
• 唯一性： 文中明确指出，在定理 1.1 的假设下（特别是对于不带微小性条件的 $u_0 \in L^2 \cap VMO^{-1}$）建立唯一性仍是一个开放问题。用于存在性证明的方法目前无法在这一临界设定下得出唯一性，这区别于 Koch 和 Tataru [29] 关于齐次 Navier–Stokes 方程的经典 $BMO^{-1}$ 结果。

结论
这项工作为求解具有低正则性初始速度（在 $VMO^{-1}$ 中）的三维非均匀 Navier–Stokes 方程提供了一个严谨的框架。通过将传输方程估计与精细的冻结系数技术以及精心构建的混合范数函数空间相结合，作者在一般有界密度下建立了局部存在性，并在密度接近常数且速度较小时建立了全局存在性。这些结果代表了理解具有变密度流体在临界函数空间中适定性的重要进展。