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A counterexample to a subadditivity conjecture of Cohen for Sophie Germain cyclic numbers

Diese Arbeit widerlegt Cohens Subadditivitätsvermutung für Sophie-Germain-zyklische Zahlen, indem sie ein spezifisches Gegenbeispiel bei $m=31$ und $n=3928$ präsentiert, ein Ergebnis, das durch den Lean 4-Kernel formal verifiziert wurde.

Ursprüngliche Autoren: Josué Alexander Ibarra

Veröffentlicht 2026-07-14

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Josué Alexander Ibarra

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, Sie organisieren eine riesige Party, deren Gästeliste aus besonderen Zahlen besteht, die „zyklische Zahlen“ genannt werden. Dies sind die VIPs der Welt der Zahlen: Sie besitzen eine einzigartige Superkraft, nämlich dass jede Gruppe dieser Größe ohne Chaos in einem perfekten Kreis angeordnet werden kann. Es gibt einen noch cooleren Club namens „Sophie-Germain-zyklische Zahlen“. Um in diesen Club zu gelangen, muss eine Zahl selbst ein VIP sein, und ihr „Plus-Eins“-Zwilling (speziell $2n + 1$ ) muss ebenfalls ein VIP sein.

Jahrelang hatte ein Mathematiker namens Cohen eine Ahnung davon, wie sich diese VIPs verteilen. Er glaubte, sie folgten einer Regel namens Subadditivität. Denken Sie an diese Regel wie an eine „Kein-Doppel-Dipping“-Regel für das Zählen von Gästen. Die Regel besagt: Wenn man zählt, wie viele VIPs in einer kleinen Gruppe von $m$ Personen sind, und dies zu der Anzahl der VIPs in einer größeren Gruppe von $n$ Personen addiert, sollte die Gesamtsumme immer mindestens so groß sein wie die Anzahl der VIPs, die man finden würde, wenn man sich einfach nur eine einzige, kombinierte Gruppe von $m + n$ Personen ansieht. Mit anderen Worten: Man kann in einem zufälligen Ausschnitt der Party nicht eine dichtere Menge an VIPs finden als im allerersten Ausschnitt, der direkt am Anfang der Party beginnt.

Cohen überprüfte diese Regel für Millionen von Zahlen (bis zu $10^6$ ) und konnte keinen einzigen Riss in der Rüstung finden. Er war so zuversichtlich, dass er sie als Vermutung 66 aufschrieb.

Doch hier kommt der Plot-Twist: Die Regel ist gebrochen.

Ein Mathematiker namens Josué Alexander Ibarra fand einen spezifischen Punkt, an dem die Party überraschend voll wurde und die „Kein-Doppel-Dipping“-Regel brach. Er betrachtete zwei spezifische Zahlen: 31 und 3928.

Wenn man die VIPs in den ersten 31 Zahlen zählt, findet man genau 10 von ihnen.
Wenn man die VIPs in den ersten 3928 Zahlen zählt, erhält man eine große Zahl (nennen wir sie $X$ ).
Laut der alten Regel sollte die Gesamtzahl der VIPs in den ersten 3959 Zahlen (was $31 + 3928$ entspricht) kleiner oder gleich $10 + X$ sein.

Aber als Ibarra die Rechnung machte, fand er 697 VIPs in den ersten 3959 Zahlen.
Als er die VIPs aus den ersten 31 ($10$) und den ersten 3928 ( $X$ ) addierte, erhielt er 696.

697 ist größer als 696.

Die VIPs in der Mitte der Party (speziell in dem Abschnitt von 3929 bis 3959) waren so dicht gedrängt, dass sie 11 neue Gäste unterbrachten, während der allererste Abschnitt der Party (1 bis 31) nur 10 hatte. Es ist, als fände man eine geheime VIP-Lounge in der Mitte des Raumes, die voller ist als die Eingangshalle.

Dies ist nicht nur eine Vermutung oder eine Simulation; das Paper beweist es mit absoluter Gewissheit. Der Autor hat nicht einfach ein Programm laufen lassen und gehofft, sondern er hat ein formales Beweissystem namens Lean 4 verwendet, das wie ein superstrenger Schiedsrichter fungiert und jeden einzelnen logischen Schritt prüft, um sicherzustellen, dass keine Fehler gemacht wurden. Der Schiedsrichter bestätigte, dass das Gegenbeispiel real ist und die alte Regel definitiv falsch ist.

Interessanterweise gab Cohen später selbst zu, dass seine frühere Suche deshalb scheiterte, weil er einen winzigen Fehler in seinem Computercode hatte. Jetzt, da der Code korrigiert und das Gegenbeispiel verifiziert ist, wissen wir mit Sicherheit, dass die „Kein-Doppel-Dipping“-Regel für diese speziellen Zahlen nicht standhält. Es stellt sich heraus, dass die Mitte der Party manchmal einfach spannender ist als der Anfang.

Technisches Resümee: Ein Gegenbeispiel zu einer Subadditivitätsvermutung von Cohen für Sophie-Germain-zyklische Zahlen

Problemstellung
Die Arbeit befasst sich mit einer von J. E. Cohen aufgestellten Vermutung bezüglich der Verteilung von „Sophie-Germain-zyklischen“ ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl $n \ge 1$ wird als zyklisch definiert, wenn $\gcd(n, \phi(n)) = 1$ gilt (was äquivalent dazu ist, dass jede Gruppe der Ordnung $n$ zyklisch ist). Eine Zahl ist Sophie-Germain-zyklisch, wenn sowohl $n$ als auch $2n+1$ zyklisch sind. Sei $C_\sigma(N)$ die Zählfunktion für diese Zahlen im Intervall $[1, N]$ .

Cohen vermutete, dass $C_\sigma$ subadditiv ist, speziell dass für alle ganzen Zahlen $1 \le m \le n$ gilt:
$C_\sigma(m + n) \le C_\sigma(m) + C_\sigma(n)$
Dies ist das zyklische Analogon zur zweiten Hardy-Littlewood-Vermutung über die Primzahlzählfunktion $\pi$ . Während Cohen diese Ungleichung für $m, n \le 10^6$ verifizierte, ohne ein Gegenbeispiel zu finden, ließ er die allgemeine Gültigkeit offen.

Methodik
Der Autor verwendet einen direkten computationalen und logischen Ansatz, um die Vermutung zu widerlegen:

Gezielte Suche: Anstatt einer breiten Suche identifiziert der Autor ein spezifisches Fenster $(m, m+n]$ , in dem die Dichte der Sophie-Germain-zyklischen Zahlen das Intervall $[1, m]$ übersteigt.
Explizite Enumeration: Der Beweis stützt sich auf die explizite Aufzählung der Sophie-Germain-zyklischen Zahlen innerhalb spezifischer Bereiche. Der Autor berechnet die exakte Anzahl für $m=31$ und identifiziert ein Fenster der Länge 31 beginnend bei $n=3928$ (d. h. das Intervall $(3928, 3959]$ ).
Formale Verifizierung: Die Ergebnisse werden mit dem Lean 4 Proof Assistant über die mathlib-Bibliothek verifiziert. Die Formalisierung definiert zyklische Zahlen über Nat.Coprime n (Nat.totient n) und verifiziert die Zählfunktion $C_\sigma$ . Entscheidend ist, dass der Beweis durch den Lean-Kernel selbst geprüft wird, wobei er sich nur auf Standardaxiome (propext, Classical.choice, Quot.sound) stützt und auf native Entscheidungsverfahren (native_decide) verzichtet, wodurch sichergestellt wird, dass das Ergebnis ein Theorem und kein rein computationales Artefakt ist.

Wesentliche Ergebnisse
Das Papier liefert ein konkretes Gegenbeispiel zu Cohens Vermutung 66:

Parameter: $m = 31$ und $n = 3928$ .
Zählwerte:
- $C_\sigma(31) = 10$ (Die Zahlen sind 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 17, 23, 29).
- Das Intervall $(3928, 3959]$ enthält 11 Sophie-Germain-zyklische Zahlen: 3929, 3931, 3935, 3941, 3943, 3945, 3947, 3949, 3953, 3957, 3959.
- Folglich gilt: $C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11$ .
Verletzung der Ungleichung:
$C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11 > C_\sigma(3928) + 10 = C_\sigma(3928) + C_\sigma(31)$
Somit gilt $C_\sigma(31 + 3928) > C_\sigma(31) + C_\sigma(3928)$ , was die Behauptung der Subadditivität widerlegt.

Der Autor merkt an, dass der spezifische Wert von $C_\sigma(3928)$ für den Beweis irrelevant ist; der Gegenbeweis beruht allein darauf, dass das Fenster $(3928, 3959]$ dichter ist als $[1, 31]$ .

Bedeutung und Ansprüche
Das Papier beansprucht folgende Bedeutung:

Lösung eines offenen Problems: Es beweist definitiv, dass Cohens Vermutung 66 falsch ist, und schließt damit eine Frage, die nach einer Suche bis $10^6$ offen blieb.
Korrektur früherer Arbeiten: Der Autor stellt fest, dass Cohens Scheitern, ein Gegenbeispiel in seiner ursprünglichen Suche zu finden, auf einen Fehler in seinem Computercode zurückzuführen war, was Cohen selbst nach den Erkenntnissen dieser Arbeit bestätigte.
Theoretische Konsistenz: Die Falschheit der Subadditivitätsvermutung für Sophie-Germain-zyklische Zahlen steht im Einklang mit der allgemeinen Annahme, dass die analoge Vermutung für Primzahlen (Hardy-Littlewood) ebenfalls falsch und inkompatibel mit der Primzahl- $k$ -Tupel-Vermutung ist.
Formale Strenge: Das Resultat zeichnet sich durch seine formale Verifizierung in Lean 4 aus, die einen kernel-geprüften Beweis liefert, dass das Gegenbeispiel innerhalb des von Cohen ursprünglich untersuchten Bereichs ( $m, n \le 10^6$ ) liegt.

Das Papier schließt mit dem Hinweis, dass Gegenbeispiele dieser Art nicht selten sind, dieses spezifische Beispiel jedoch aufgrund seiner Lage innerhalb des Bereichs der ursprünglichen (fehlerhaften) Suche von Cohen bemerkenswert ist.

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