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A counterexample to a subadditivity conjecture of Cohen for Sophie Germain cyclic numbers

Cet article infirme la conjecture de sous-additivité de Cohen pour les nombres cycliques de Sophie Germain en présentant un contre-exemple spécifique à $m=31$ et $n=3928$ , un résultat qui a été formellement vérifié par le noyau de Lean 4.

Auteurs originaux : Josué Alexander Ibarra

Publié 2026-07-14

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Josué Alexander Ibarra

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous organisiez une fête massive dont la liste d'invités est composée de nombres spéciaux appelés « nombres cycliques ». Ce sont les VIP du monde des nombres : ils possèdent un super-pouvoir unique, celui que chaque groupe de cette taille peut être disposé en un cercle parfait sans aucun chaos. Il existe un club encore plus cool appelé « nombres cycliques de Sophie Germain ». Pour y entrer, un nombre doit être lui-même un VIP, et son jumeau « plus-un » (spécifiquement $2n + 1$ ) doit également être un VIP.

Pendant des années, un mathématicien nommé Cohen a eu une intuition sur la façon dont ces VIP se répartissent. Il pensait qu'ils suivaient une règle appelée sous-additivité. Voyez cela comme une règle de « non-cumul ». La règle dit que si vous comptez combien de VIP se trouvent dans un petit groupe de $m$ personnes et que vous ajoutez cela au compte des VIP dans un groupe plus grand de $n$ personnes, le total devrait toujours être au moins aussi grand que le nombre de VIP que vous trouveriez si vous regardiez simplement un groupe combiné de $m + n$ personnes. En d'autres termes, on ne peut pas trouver une foule plus dense de VIP dans une tranche aléatoire de la fête que dans la toute première tranche partant du début.

Cohen a vérifié cette règle pour des millions de nombres (jusqu'à $10^6$ ) et n'a trouvé pas une seule faille dans l'armure. Il était si confiant qu'il l'a consignée sous le nom de Conjecture 66.

Mais voici le rebondissement : la règle est brisée.

Un mathématicien nommé Josué Alexander Ibarra a trouvé un endroit spécifique où la fête devient étonnamment bondée, brisant la règle du « non-cumul ». Il a examiné deux nombres spécifiques : 31 et 3928.

Si vous comptez les VIP dans les 31 premiers nombres, vous en trouvez exactement 10.
Si vous comptez les VIP dans les 3928 premiers nombres, vous obtenez un grand nombre (appelons-le $X$ ).
Selon l'ancienne règle, le total des VIP dans les 3959 premiers nombres (qui est $31 + 3928$ ) devrait être inférieur ou égal à $10 + X$ .

Mais quand Ibarra a fait ses calculs, il a trouvé 697 VIP dans les 3959 premiers nombres.
Lorsqu'il a additionné les VIP des 31 premiers ($10$) et des 3928 premiers ( $X$ ), il a obtenu 696.

697 est supérieur à 696.

Les VIP au milieu de la fête (spécifiquement dans la tranche de 3929 à 3959) étaient si denses qu'ils ont fait arriver 11 nouveaux invités, alors que la toute première tranche de la fête (de 1 à 31) n'en comptait que 10. C'est comme trouver un salon VIP secret au milieu de la pièce qui est plus bondé que le hall d'entrée.

Il ne s'agit pas d'une simple supposition ou d'une simulation ; l'article prouve cela avec une certitude absolue. L'auteur n'a pas seulement lancé un programme en espérant un résultat ; il a utilisé un système de preuve formelle appelé Lean 4, qui agit comme un arbitre super strict vérifiant chaque étape logique pour garantir l'absence d'erreurs. L'arbitre a confirmé que le contre-exemple est réel et que l'ancienne règle est définitivement fausse.

Il est intéressant de noter que Cohen lui-même a admis plus tard que sa recherche initiale avait échoué à cause d'une petite erreur dans son code informatique. Maintenant que le code est corrigé et que le contre-exemple est vérifié, nous savons avec certitude que la règle du « non-cumul » pour ces nombres spéciaux ne tient pas. Il s'avère que, parfois, le milieu de la fête est tout simplement plus excitant que le début.

Résumé Technique : Un contre-exemple à une conjecture de sous-additivité de Cohen pour les nombres cycliques de Sophie Germain

Énoncé du Problème
Le document traite d'une conjecture proposée par J. E. Cohen concernant la distribution des entiers « cycliques de Sophie Germain ». Un entier $n \ge 1$ est dit cyclique si $\gcd(n, \phi(n)) = 1$ (ce qui équivaut au fait que tout groupe d'ordre $n$ est cyclique). Un entier est dit cyclique de Sophie Germain si $n$ et $2n+1$ sont tous deux cycliques. Soit $C_\sigma(N)$ la fonction de comptage de ces entiers dans l'intervalle $[1, N]$ .

Cohen a conjecturé que $C_\sigma$ est sous-additive, plus précisément que pour tous entiers $1 \le m \le n$ :
$C_\sigma(m + n) \le C_\sigma(m) + C_\sigma(n)$
Ceci est l'analogue cyclique de la seconde conjecture de Hardy–Littlewood concernant la fonction de comptage des nombres premiers $\pi$ . Bien que Cohen ait vérifié cette inégalité pour $m, n \le 10^6$ sans trouver de contre-exemple, il a laissé la validité générale en suspens.

Méthodologie
L'auteur emploie une approche computationnelle et logique directe pour infirmer la conjecture :

Recherche Ciblée : Au lieu d'une recherche large, l'auteur identifie une fenêtre spécifique $(m, m+n]$ où la densité des entiers cycliques de Sophie Germain dépasse la densité dans le segment initial $[1, m]$ .
Énumération Explicite : La preuve repose sur l'énumération finie des entiers cycliques de Sophie Germain dans des plages spécifiques. L'auteur calcule le compte exact pour $m=31$ et identifie une fenêtre de longueur 31 commençant à $n=3928$ (c'est-à-dire l'intervalle $(3928, 3959]$ ).
Vérification Formelle : Les résultats sont vérifiés à l'aide de l'assistant de preuve Lean 4 sur la bibliothèque mathlib. La formalisation définit les nombres cycliques via Nat.Coprime n (Nat.totient n) et vérifie la fonction de comptage $C_\sigma$ . Crucialement, la preuve est vérifiée par le noyau (kernel) de Lean lui-même, s'appuyant uniquement sur des axiomes standards (propext, Classical.choice, Quot.sound) et évitant les procédures de décision natives (native_decide), garantissant ainsi que le résultat est un théorème et non un artefact computationnel.

Résultats Clés
Le document fournit un contre-exemple concret à la Conjecture 66 de Cohen :

Paramètres : $m = 31$ et $n = 3928$ .
Comptages :
- $C_\sigma(31) = 10$ (les entiers sont 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 17, 23, 29).
- L'intervalle $(3928, 3959]$ contient 11 entiers cycliques de Sophie Germain : 3929, 3931, 3935, 3941, 3943, 3945, 3947, 3949, 3953, 3957, 3959.
- Par conséquent, $C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11$ .
Violation de l'Inégalité :
$C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11 > C_\sigma(3928) + 10 = C_\sigma(3928) + C_\sigma(31)$
Ainsi, $C_\sigma(31 + 3928) > C_\sigma(31) + C_\sigma(3928)$ , infirmant la thèse de la sous-additivité.

L'auteur note que la valeur spécifique de $C_\sigma(3928)$ est sans importance pour la preuve ; le contre-exemple repose uniquement sur le fait que la fenêtre $(3928, 3959]$ est plus dense que $[1, 31]$ .

Signification et Revendications
Le document affirme la signification suivante :

Résolution d'un Problème Ouvert : Il prouve définitivement que la Conjecture 66 de Cohen est fausse, clôturant une question laissée ouverte après une recherche jusqu'à $10^6$ .
Correction de Travaux Précédents : L'auteur note que l'échec de Cohen à trouver un contre-exemple dans sa recherche originale était dû à une erreur dans son code informatique, un fait confirmé par Cohen lui-même suite aux conclusions de ce document.
Cohérence Théorique : La fausseté de la conjecture de sous-additivité pour les nombres cycliques de Sophie Germain s'aligne sur la croyance générale que la conjecture analogue pour les nombres premiers (Hardy–Littlewood) est également fausse et incompatible avec la conjecture des $k$ -tuples de nombres premiers.
Rigueur Formelle : Le résultat se distingue par sa vérification formelle dans Lean 4, fournissant une preuve vérifiée par le noyau qui place le contre-exemple dans la plage précédemment recherchée ( $m, n \le 10^6$ ).

Le document conclut que les contre-exemples de cette nature ne sont pas rares, mais que cet exemple spécifique est notable par sa localisation dans la plage de la recherche originale (erronée) de Cohen.

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