🔢 mathematics

A counterexample to a subadditivity conjecture of Cohen for Sophie Germain cyclic numbers

Dit artikel weerlegt de subadditiviteitsconjectuur van Cohen voor Sophie Germain cyclische getallen door een specifiek tegenvoorbeeld te presenteren bij $m=31$ en $n=3928$ , een resultaat dat formeel is geverifieerd door de Lean 4-kernel.

Oorspronkelijke auteurs: Josué Alexander Ibarra

Gepubliceerd 2026-07-14

📖 3 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Josué Alexander Ibarra

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je een enorm feest organiseert waarbij de gastenlijst bestaat uit speciale getallen die "cyclische getallen" worden genoemd. Dit zijn de VIP's van de getallenwereld: ze hebben een unieke superkracht waarbij elke groep van die omvang in een perfecte cirkel kan worden gerangschikt zonder chaos. Er is een nog coolere club genaamd "Sophie Germain cyclische getallen". Om lid te worden, moet een getal zelf een VIP zijn, en zijn "plus-één" tweelingbroer (specifiek $2n + 1$ ) moet ook een VIP zijn.

Jarenlang had een wiskundige genaamd Cohen een vermoeden over hoe deze VIP's zich verspreiden. Hij dacht dat ze een regel volgden die subadditiviteit wordt genoemd. Denk aan een "geen dubbel dippen"-regel voor het tellen van gasten. De regel zegt: als je telt hoeveel VIP's er in een kleine groep van $m$ mensen zijn en dat optelt bij het aantal VIP's in een grotere groep van $n$ mensen, dan zou het totaal altijd minstens zo groot moeten zijn als het aantal VIP's dat je zou vinden als je simpelweg naar één gecombineerde groep van $m + n$ mensen zou kijken. Met andere woorden: je kunt niet een dichtere menigte VIP's vinden in een willekeurige doorsnede van het feest dan in de allereerste doorsnede vanaf het begin.

Cohen controleerde deze regel voor miljoenen getallen (tot $10^6$ ) en kon geen enkel lek in het pantser vinden. Hij was zo overtuigd dat hij het opschreef als Conjecture 66.

Maar hier komt de plotwending: de regel is gebroken.

Een wiskundige genaamd Josué Alexander Ibarra vond een specifieke plek waar het feest verrassend druk werd, waardoor de "geen dubbel dippen"-regel werd doorbroken. Hij keek naar twee specifieke getallen: 31 en 3928.

Als je de VIP's in de eerste 31 getallen telt, vind je er precies 10.
Als je de VIP's in de eerste 3928 getallen telt, krijg je een groot getal (laten we het $X$ noemen).
Volgens de oude regel zou het totaal aantal VIP's in de eerste 3959 getallen (wat $31 + 3928$ is) minder dan of gelijk aan $10 + X$ moeten zijn.

Maar toen Ibarra de berekening maakte, vond hij 697 VIP's in de eerste 3959 getallen.
Toen hij de VIP's van de eerste 31 ($10$) en de eerste 3928 ( $X$ ) bij elkaar optelde, kreeg hij 696.

697 is groter dan 696.

De VIP's in het midden van het feest (specifiek in het segment van 3929 tot 3959) waren zo dichtbevolkt dat ze 11 nieuwe gasten toevoegden, terwijl de allereerste stretch van het feest (1 tot 31) slechts 10 had. Het is alsof je een geheime VIP-lounge in het midden van de kamer vindt die drukker is dan de entreehal.

Dit is niet zomaar een gok of een simulatie; het artikel bewijst dit met absolute zekerheid. De auteur heeft niet alleen een programma gedraaid en gehoopt; hij heeft een formeel bewijssysteem gebruikt genaamd Lean 4, dat fungeert als een superstrenge scheidsrechter die elke enkele logische stap controleert om fouten te voorkomen. De scheidsrechter bevestigde dat het tegenvoorbeeld echt is en dat de oude regel definitief onjuist is.

Interessant genoeg gaf Cohen later toe dat zijn eerdere zoektocht dit had gemist vanwege een kleine fout in zijn computercode. Nu de code is gecorrigeerd en het tegenvoorbeeld is geverifieerd, weten we zeker dat de "geen dubbel dippen"-regel voor deze speciale getallen niet standhoudt. Het blijkt dat soms het midden van het feest net zo spannend is als het begin.

Technische Samenvatting: Een tegenvoorbeeld voor een subadditiviteitsvermoeden van Cohen voor Sophie Germain cyclische getallen

Probleemstelling
Het artikel behandelt een vermoeden voorgesteld door J. E. Cohen met betrekking tot de verdeling van "Sophie Germain cyclische" gehele getallen. Een geheel getal $n \ge 1$ wordt cyclisch genoemd als $\gcd(n, \phi(n)) = 1$ (oftewel, als elke groep van orde $n$ cyclisch is). Een geheel getal is Sophie Germain cyclisch als zowel $n$ als $2n+1$ cyclisch zijn. Laat $C_\sigma(N)$ de telfunctie voor deze gehele getallen in het interval $[1, N]$ zijn.

Cohen vermoedde dat $C_\sigma$ subadditief is, specifiek dat voor alle gehele getallen $1 \le m \le n$ :
$C_\sigma(m + n) \le C_\sigma(m) + C_\sigma(n)$
Dit is het cyclische analoog aan de tweede Hardy–Littlewood vermoeden betreffende de priemtelfunctie $\pi$ . Hoewel Cohen deze ongelijkheid heeft geverifieerd voor $m, n \le 10^6$ zonder een tegenvoorbeeld te vinden, liet hij de algemene geldigheid open.

Methodologie
De auteur hanteert een directe computationele en logische benadering om het vermoeden te weerleggen:

Gerichte zoektocht: In plaats van een brede zoektocht, identificeert de auteur een specifiek venster $(m, m+n]$ waar de dichtheid van Sophie Germain cyclische getallen groter is dan de dichtheid in het initiële segment $[1, m]$ .
Expliciete enumeratie: Het bewijs rust op de eindige enumeratie van Sophie Germain cyclische getallen binnen specifieke bereiken. De auteur berekent het exacte aantal voor $m=31$ en identificeert een venster van lengte 31 beginnend bij $n=3928$ (d.w.z. het interval $(3928, 3959]$ ).
Formele verificatie: De resultaten worden geverifieerd met de Lean 4 proof assistant over de mathlib bibliotheek. De formalisering definieert cyclische getallen via Nat.Coprime n (Nat.totient n) en verifieert de telfunctie $C_\sigma$ . Cruciaal is dat het bewijs wordt gecontroleerd door de Lean-kernel zelf, waarbij uitsluitend wordt vertrouwd op standaardaxioma's (propext, Classical.choice, Quot.sound) en native_decide wordt vermeden, wat ervoor zorgt dat het resultaat een stelling is in plaats van een computationeel artefact.

Belangrijkste Resultaten
Het artikel levert een concreet tegenvoorbeeld voor de Conjecture 66 van Cohen:

Parameters: $m = 31$ en $n = 3928$ .
Aantallen:
- $C_\sigma(31) = 10$ (De getallen zijn 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 17, 23, 29).
- Het interval $(3928, 3959]$ bevat 11 Sophie Germain cyclische getallen: 3929, 3931, 3935, 3941, 3943, 3945, 3947, 3949, 3953, 3957, 3959.
- Consequenterwijs is $C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11$ .
Schending van de ongelijkheid:
$C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11 > C_\sigma(3928) + 10 = C_\sigma(3928) + C_\sigma(31)$
Aldus $C_\sigma(31 + 3928) > C_\sigma(31) + C_\sigma(3928)$ , wat de bewering van subadditiviteit weerlegt.

De auteur merkt op dat de specifieke waarde van $C_\sigma(3928)$ irrelevant is voor het bewijs; de weerlegging berust enkel op het feit dat het venster $(3928, 3959]$ dichter is dan $[1, 31]$ .

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de volgende betekenis:

Oplossing van een openstaand probleem: Het bewijst definitief dat de Conjecture 66 van Cohen onjuist is, waarmee een vraag wordt gesloten die open bleef na een zoektocht tot $10^6$ .
Correctie van eerder werk: De auteur merkt op dat het falen van Cohen om een tegenvoorbeeld te vinden in zijn oorspronkelijke zoektocht te wijten was aan een fout in zijn computercode, een feit dat door Cohen zelf werd bevestigd na deze bevindingen.
Theoretische consistentie: De onjuistheid van het subadditiviteitsvermoeden voor Sophie Germain cyclische getallen komt overeen met de algemene overtuiging dat het analoge vermoeden voor priemgetallen (Hardy–Littlewood) eveneens onjuist is en incompatibel is met het priem $k$ -tuple vermoeden.
Formele Rigor: Het resultaat onderscheidt zich door de formele verificatie in Lean 4, wat een door de kernel gecontroleerd bewijs levert dat het tegenvoorbeeld binnen het bereik ligt dat eerder is onderzocht ( $m, n \le 10^6$ ).

Het artikel concludeert dat tegenvoorbeelden van deze aard niet zeldzaam zijn, maar dit specifieke geval is opmerkelijk vanwege de locatie binnen het bereik van de oorspronkelijke (foutieve) zoektocht van Cohen.

Meer zoals dit