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A counterexample to a subadditivity conjecture of Cohen for Sophie Germain cyclic numbers

Questo articolo confuta la congettura di subadditività di Cohen per i numeri ciclici di Sophie Germain presentando un controesempio specifico per $m=31$ e $n=3928$ , un risultato che è stato formalmente verificato dal kernel di Lean 4.

Autori originali: Josué Alexander Ibarra

Pubblicato 2026-07-14

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CC BY 4.0

Autori originali: Josué Alexander Ibarra

Articolo originale sotto licenza CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Questa è una spiegazione generata dall'IA dell'articolo qui sotto. Non è stata scritta né approvata dagli autori. Per precisione tecnica, consulta l'articolo originale. Leggi il disclaimer completo

Immagina di organizzare una festa enorme dove la lista degli invitati è composta da numeri speciali chiamati "numeri ciclici". Questi sono i VIP del mondo dei numeri: hanno un superpotere unico, ovvero che ogni gruppo di quella dimensione può essere disposto in un cerchio perfetto senza alcun caos. C'è un club ancora più figo chiamato "numeri ciclici di Sophie Germain". Per entrare, un numero deve essere un VIP di per sé, e anche il suo gemello "più uno" (specificamente $2n + 1$ ) deve essere un VIP.

Per anni, un matematico di nome Cohen ha avuto un'intuizione su come questi VIP si diffondano. Pensava che seguissero una regola chiamata subadditività. Immaginala come una regola del "niente doppi conteggi" per contare gli ospiti. La regola dice: se conti quanti VIP ci sono in un piccolo gruppo di $m$ persone e aggiungi questo al conteggio dei VIP in un gruppo più grande di $n$ persone, il totale dovrebbe essere sempre almeno grande quanto il numero di VIP che troveresti se guardassi semplicemente un singolo gruppo combinato di $m + n$ persone. In altre parole, non puoi trovare una folla più densa di VIP in una fetta casuale della festa rispetto alla prima fetta partendo dall'inizio.

Cohen ha controllato questa regola per milioni di numeri (fino a $10^6$ ) e non ha trovato nemmeno una crepa nell'armatura. Era così sicuro che l'ha scritta come Congettura 66.

Ma ecco il colpo di scena: la regola è infranta.

Un matematico di nome Josué Alexander Ibarra ha trovato un punto specifico in cui la festa diventa sorprendentemente affollata, rompendo la regola del "niente doppi conteggi". Ha guardato due numeri specifici: 31 e 3928.

Se conti i VIP nei primi 31 numeri, ne trovi esattamente 10.
Se conti i VIP nei primi 3928 numeri, ottieni un numero grande (chiamiamolo $X$ ).
Secondo la vecchia regola, il totale dei VIP nei primi 3959 numeri (che è $31 + 3928$ ) dovrebbe essere minore o uguale a $10 + X$ .

Ma quando Ibarra ha fatto i calcoli, ha trovato 697 VIP nei primi 3959 numeri.
Quando ha aggiunto i VIP dei primi 31 ($10$) e dei primi 3928 ( $X$ ), ha ottenuto 696.

697 è maggiore di 696.

La regola è fallita. I VIP nel mezzo della festa (specificamente nella fascia da 3929 a 3959) erano così densi che hanno stipato 11 nuovi ospiti, mentre la primissima parte della festa (da 1 a 31) ne aveva solo 10. È come trovare un salotto VIP segreto nel mezzo della stanza che è più affollato dell'atrio d'ingresso.

Questa non è solo una supposizione o una simulazione; l'articolo lo prova con assoluta certezza. L'autore non si è limitato a far girare un programma sperando nel meglio; ha usato un sistema di prova formale chiamato Lean 4, che agisce come un arbitro super-severo che controlla ogni singolo passaggio logico per garantire che non ci siano errori. L'arbitro ha confermato che il controesempio è reale e che la vecchia regola è decisamente falsa.

Interessante notare che lo stesso Cohen ha ammesso in seguito che la sua ricerca precedente l'aveva mancato a causa di un piccolo errore nel suo codice informatico. Ora che il codice è stato corretto e il controesempio verificato, sappiamo con certezza che la regola del "niente doppi conteggi" per questi numeri speciali non regge. Si scopre che, a volte, il centro della festa è solo più eccitante dell'inizio.

Sintesi Tecnica: Un Controesempio alla Congettura di Subadditività di Cohen per i Numeri Ciclici di Sophie Germain

Enunciato del Problema
Il saggio affronta una congettura proposta da J. E. Cohen riguardante la distribuzione degli interi "ciclici di Sophie Germain". Un intero $n \ge 1$ è definito ciclico se $\gcd(n, \phi(n)) = 1$ (equivalente a dire che ogni gruppo di ordine $n$ è ciclico). Un intero è ciclico di Sophie Germain se sia $n$ che $2n+1$ sono ciclici. Sia $C_\sigma(N)$ la funzione di conteggio di questi interi nell'intervallo $[1, N]$ .

Cohen ha congetturato che $C_\sigma$ sia subadditiva, specificamente che per tutti gli interi $1 \le m \le n$ :
$C_\sigma(m + n) \le C_\sigma(m) + C_\sigma(n)$
Questa è l'analogo ciclico della seconda congettura di Hardy–Littlewood relativa alla funzione di conteggio dei primi $\pi$ . Sebbene Cohen abbia verificato questa disuguaglianza per $m, n \le 10^6$ senza trovare un controesempio, ha lasciato aperta la validità generale.

Metodologia
L'autore impiega un approccio computazionale e logico diretto per confutare la congettura:

Ricerca Mirata: Invece di una ricerca ampia, l'autore identifica una specifica finestra $(m, m+n]$ dove la densità degli interi ciclici di Sophie Germain supera la densità nel segmento iniziale $[1, m]$ .
Enumerazione Esplicita: La prova si basa sull'enumerazione finita degli interi ciclici di Sophie Germain all'interno di intervalli specifici. L'autore calcola il conteggio esatto per $m=31$ e identifica una finestra di lunghezza 31 che parte da $n=3928$ (ovvero l'intervallo $(3928, 3959]$ ).
Verifica Formale: I risultati sono verificati utilizzando il proof assistant Lean 4 sulla libreria mathlib. La formalizzazione definisce i numeri ciclici tramite Nat.Coprime n (Nat.totient n) e verifica la funzione di conteggio $C_\sigma$ . Fondamentalmente, la prova è controllata dal kernel stesso di Lean, affidandosi solo ad assiomi standard (propext, Classical.choice, Quot.sound) ed evitando procedure decisionali native (native_decide), garantendo così che il risultato sia un teorema e non un artefatto computazionale.

Risultati Chiave
Il saggio fornisce un controesempio concreto alla Congettura 66 di Cohen:

Parametri: $m = 31$ e $n = 3928$ .
Conteggi:
- $C_\sigma(31) = 10$ (gli interi sono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 17, 23, 29).
- L'intervallo $(3928, 3959]$ contiene 11 interi ciclici di Sophie Germain: 3929, 3931, 3935, 3941, 3943, 3945, 3947, 3949, 3953, 3957, 3959.
- Di conseguenza, $C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11$ .
Violazione della Disuguaglianza:
$C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11 > C_\sigma(3928) + 10 = C_\sigma(3928) + C_\sigma(31)$
Pertanto, $C_\sigma(31 + 3928) > C_\sigma(31) + C_\sigma(3928)$ , confutando l'affermazione di subadditività.

L'autore nota che il valore specifico di $C_\sigma(3928)$ è irrilevante per la prova; la confutazione si basa esclusivamente sul fatto che la finestra $(3928, 3959]$ è più densa di $[1, 31]$ .

Significato e Rivendicazioni
Il saggio rivendica la seguente importanza:

Risoluzione di un Problema Aperto: Dimostra definitivamente che la Congettura 66 di Cohen è falsa, chiudendo una questione lasciata aperta dopo una ricerca fino a $10^6$ .
Correzione di Lavori Precedenti: L'autore nota che il fallimento di Cohen nel trovare un controesempio nella sua ricerca originale è dovuto a un errore nel suo codice informatico, un fatto confermato dallo stesso Cohen a seguito di questo saggio.
Consistenza Teorica: La falsità della congettura di subadditività per i numeri ciclici di Sophie Germain si allinea con la credenza generale che la congettura analoga per i numeri primi (Hardy–Littlewood) sia anch'essa falsa e incompatibile con la congettura dei $k$ -tupletti primi.
Rigore Formale: Il risultato si distingue per la sua verifica formale in Lean 4, fornendo una prova controllata dal kernel che colloca il controesempio all'interno dell'intervallo precedentemente cercato ( $m, n \le 10^6$ ).

Il saggio conclude che controesempi di questa natura non sono rari, ma questo caso specifico è degno di nota per la sua posizione all'interno dell'intervallo della ricerca originale (errata) di Cohen.

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