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A counterexample to a subadditivity conjecture of Cohen for Sophie Germain cyclic numbers

Este artigo refuta a conjectura de subaditividade de Cohen para números cíclicos de Sophie Germain ao apresentar um contraexemplo específico em $m=31$ e $n=3928$ , um resultado que foi formalmente verificado pelo kernel do Lean 4.

Autores originais: Josué Alexander Ibarra

Publicado 2026-07-14

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CC BY 4.0

Autores originais: Josué Alexander Ibarra

Artigo original sob licença CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta é uma explicação gerada por IA do artigo abaixo. Não foi escrita nem endossada pelos autores. Para precisão técnica, consulte o artigo original. Ler aviso legal completo

Imagine que você está organizando uma festa massiva onde a lista de convidados é composta por números especiais chamados "números cíclicos". Eles são os VIPs do mundo dos números: possuem um superpoder único onde cada grupo daquele tamanho pode ser arranjado em um círculo perfeito sem qualquer caos. Existe um clube ainda mais legal chamado "números cíclicos de Sophie Germain". Para entrar, um número tem que ser um VIP em si mesmo, e seu gêmeo "mais um" (especificamente, $2n + 1$ ) também tem que ser um VIP.

Por anos, um matemático chamado Cohen teve um pressentimento sobre como esses VIPs se espalham. Ele pensou que eles seguiam uma regra chamada subaditividade. Pense nisso como uma regra de "não duplicar o lucro" para contar convidados. A regra diz: se você contar quantos VIPs existem em um pequeno grupo de $m$ pessoas e somar isso à contagem de VIPs em um grupo maior de $n$ pessoas, o total deve ser sempre pelo menos tão grande quanto o número de VIPs que você encontraria se olhasse apenas para um único grupo combinado de $m + n$ pessoas. Em outras palavras, você não pode encontrar uma multidão mais densa de VIPs em um pedaço aleatório da festa do que você encontraria no primeiro pedaço começando do início.

Cohen verificou essa regra para milhões de números (até $10^6$ ) e não conseguiu encontrar uma única rachadura na armadura. Ele estava tão confiante que escreveu isso como a Conjectura 66.

Mas aqui vem a reviravolta: a regra foi quebrada.

Um matemático chamado Josué Alexander Ibarra encontrou um ponto específico onde a festa ficou surpreendentemente cheia, quebrando a regra do "não duplicar o lucro". Ele olhou para dois números específicos: 31 e 3928.

Se você contar os VIPs nos primeiros 31 números, você encontra exatamente 10 deles.
Se você contar os VIPs nos primeiros 3928 números, você obtém um número grande (vamos chamá-lo de $X$ ).
De acordo com a antiga regra, o total de VIPs nos primeiros 3959 números (que é $31 + 3928$ ) deveria ser menor ou igual a $10 + X$ .

Mas quando Ibarra fez as contas, ele encontrou 697 VIPs nos primeiros 3959 números.
Quando ele somou os VIPs dos primeiros 31 ($10$) e dos primeiros 3928 ( $X$ ), ele obteve 696.

697 é maior que 696.

A regra falhou. Os VIPs no meio da festa (especificamente no trecho de 3929 a 3959) foram tão densos que acomodaram 11 novos convidados, enquanto o primeiro trecho da festa (1 a 31) tinha apenas 10. É como encontrar um lounge VIP secreto no meio da sala que está mais lotado do que o saguão de entrada.

Isso não é apenas um palpite ou uma simulação; o artigo prova isso com absoluta certeza. O autor não apenas rodou um programa e torceu; eles usaram um sistema de prova formal chamado Lean 4, que atua como um árbitro super rigoroso que verifica cada passo lógico para garantir que não haja erros. O árbitro confirmou que o contraexemplo é real e que a antiga regra é definitivamente falsa.

Curiosamente, o próprio Cohen admitiu mais tarde que sua busca anterior perdeu isso devido a um pequeno erro em seu código de computador. Agora que o código está corrigido e o contraexemplo foi verificado, sabemos com certeza que a regra do "não duplicar o lucro" para esses números especiais não se sustenta. Acontece que, às vezes, o meio da festa é apenas mais emocionante do que o começo.

Resumo Técnico: Um Contraexemplo para uma Conjectura de Subaditividade de Cohen para Números Cíclicos de Sophie Germain

Enunciado do Problema
O artigo aborda uma conjectura proposta por J. E. Cohen relativa à distribuição de inteiros "cíclicos de Sophie Germain". Um inteiro $n \ge 1$ é definido como cíclico se $\gcd(n, \phi(n)) = 1$ (equivalentemente, se todo grupo de ordem $n$ é cíclico). Um inteiro é cíclico de Sophie Germain se tanto $n$ quanto $2n+1$ forem cíclicos. Seja $C_\sigma(N)$ a função de contagem para esses inteiros no intervalo $[1, N]$ .

Cohen conjecturou que $C_\sigma$ é subaditiva, especificamente que para todos os inteiros $1 \le m \le n$ :
$C_\sigma(m + n) \le C_\sigma(m) + C_\sigma(n)$
Esta é a analogia cíclica da segunda conjectura de Hardy–Littlewood relativa à função de contagem de primos $\pi$ . Embora Cohen tenha verificado esta desigualdade para $m, n \le 10^6$ sem encontrar um contraexemplo, ele deixou a validade geral em aberto.

Metodologia
O autor emprega uma abordagem computacional e lógica direta para refutar a conjectura:

Busca Direcionada: Em vez de uma busca ampla, o autor identifica uma janela específica $(m, m+n]$ onde a densidade dos inteiros cíclicos de Sophie Germain excede a densidade no segmento inicial $[1, m]$ .
Enumeração Explícita: A prova baseia-se na enumeração finita de inteiros cíclicos de Sophie Germain dentro de intervalos específicos. O autor calcula a contagem exata para $m=31$ e identifica uma janela de comprimento 31 começando em $n=3928$ (ou seja, o intervalo $(3928, 3959]$ ).
Verificação Formal: Os resultados são verificados usando o assistente de prova Lean 4 sobre a biblioteca mathlib. A formalização define números cíclicos via Nat.Coprime n (Nat.totient n) e verifica a função de contagem $C_\sigma$ . Crucialmente, a prova é checada pelo próprio kernel do Lean, baseando-se apenas em axiomas padrão (propext, Classical.choice, Quot.sound) e evitando procedimentos de decisão nativos (native_decide), garantindo que o resultado seja um teorema e não um artefato computacional.

Principais Resultados
O artigo fornece um contraexemplo concreto para a Conjectura 66 de Cohen:

Parâmetros: $m = 31$ e $n = 3928$ .
Contagens:
- $C_\sigma(31) = 10$ (Os inteiros são 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 17, 23, 29).
- O intervalo $(3928, 3959]$ contém 11 inteiros cíclicos de Sophie Germain: 3929, 3931, 3935, 3941, 3943, 3945, 3947, 3949, 3953, 3957, 3959.
- Consequentemente, $C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11$ .
Violação da Desigualdade:
$C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11 > C_\sigma(3928) + 10 = C_\sigma(3928) + C_\sigma(31)$
Assim, $C_\sigma(31 + 3928) > C_\sigma(31) + C_\sigma(3928)$ , refutando a afirmação de subaditividade.

O autor observa que o valor específico de $C_\sigma(3928)$ é irrelevante para a prova; a refutação depende unicamente do fato de que a janela $(3928, 3959]$ é mais densa que $[1, 31]$ .

Significância e Alegações
O artigo alega a seguinte significância:

Resolução de um Problema Aberto: Ele prova definitivamente que a Conjectura 66 de Cohen é falsa, encerrando uma questão deixada em aberto após uma busca até $10^6$ .
Correção de Trabalho Anterior: O autor nota que a falha de Cohen em encontrar um contraexemplo em sua busca original deveu-se a um erro em seu código de computador, um fato confirmado pelo próprio Cohen após os achados deste artigo.
Consistência Teórica: A falsidade da conjectura de subaditividade para números cíclicos de Sophie Germain alinha-se com a crença geral de que a conjectura análoga para primos (Hardy–Littlewood) também é falsa e incompatível com a conjectura dos $k$ -tuplas de primos.
Rigor Formal: O resultado distingue-se pela sua verificação formal em Lean 4, fornecendo uma prova checada pelo kernel de que o contraexemplo reside dentro do intervalo anteriormente pesquisado ( $m, n \le 10^6$ ).

O artigo conclui que contraexemplos desta natureza não são raros, mas este caso específico é notável por sua localização dentro do intervalo da busca original (errônea) de Cohen.

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