🔢 mathematics

A counterexample to a subadditivity conjecture of Cohen for Sophie Germain cyclic numbers

यह शोध पत्र $m=31$ और $n=3928$ पर एक विशिष्ट प्रतिउदाहरण प्रस्तुत करके सोफी जर्मेन चक्रीय संख्याओं (Sophie Germain cyclic numbers) के लिए कोहेन के उप-योज्यता अनुमान (subadditivity conjecture) को गलत सिद्ध करता है, जो कि एक ऐसा परिणाम है जिसे लीन 4 (Lean 4) कर्नेल द्वारा औपचारिक रूप से सत्यापित किया गया है।

मूल लेखक: Josué Alexander Ibarra

प्रकाशित 2026-07-14

📖 4 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Josué Alexander Ibarra

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल पार्टी आयोजित कर रहे हैं जहाँ मेहमानों की सूची "चक्रीय संख्याओं" (cyclic numbers) से बनी है, जो विशेष संख्याएँ हैं। ये संख्या जगत के वीआईपी (VIP) हैं: उनके पास एक अनूठी सुपरपावर है जहाँ उस आकार के हर समूह को बिना किसी अराजकता के एक आदर्श घेरे में व्यवस्थित किया जा सकता है। एक और भी शानदार क्लब है जिसे "सोफी जर्मेन चक्रीय संख्याएँ" (Sophie Germain cyclic numbers) कहा जाता है। इसमें शामिल होने के लिए, एक संख्या को खुद एक वीआईपी होना होगा, और उसका "प्लस-वन" जुड़वाँ (विशेष रूप से, $2n + 1$ ) भी एक वीआईपी होना चाहिए।

वर्षों तक, कोहेन नामक एक गणितज्ञ को एक पूर्वाभास था कि ये वीआईपी कैसे फैलते हैं। उन्हें लगा कि वे उप-योज्यता (subadditivity) नामक एक नियम का पालन करते हैं। इसे मेहमानों को गिनने के लिए "नो डबल-डिपिंग" (दोहरी गिनती न करने) के नियम की तरह समझें। नियम कहता है कि यदि आप $m$ लोगों के एक छोटे समूह में वीआईपी की गिनती करते हैं और उस संख्या में $n$ लोगों के एक बड़े समूह के वीआईपी की गिनती जोड़ते हैं, तो कुल संख्या उस संख्या से हमेशा अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए जो आपको तब मिलती जब आप केवल एक संयुक्त समूह $m + n$ को देखते। दूसरे शब्दों में, आप शुरुआत से शुरू होने वाले पहले स्लाइस की तुलना में पार्टी के किसी यादृच्छिक हिस्से में वीआईपी की अधिक सघन भीड़ नहीं पा सकते।

कोहेन ने लाखों संख्याओं ( $10^6$ तक) के लिए इस नियम की जाँच की और उसे इस कवच में एक भी दरार नहीं मिली। वह इतना आश्वस्त था कि उसने इसे कंजैक्चर 66 (Conjecture 66) के रूप में लिख दिया।

लेकिन यहाँ एक कथानक में मोड़ आता है: नियम टूट गया है।

जोसुए अलेक्जेंडर इबारा ने एक विशिष्ट स्थान खोजा जहाँ भीड़ अचानक बढ़ गई, जिससे "नो डबल-डिपिंग" नियम टूट गया। उन्होंने दो विशिष्ट संख्याओं को देखा: 31 और 3928।

यदि आप पहले 31 नंबरों में वीआईपी को गिनते हैं, तो आप उनमें से ठीक 10 पाते हैं।
यदि आप पहले 3928 नंबरों को गिनते हैं, तो आपको एक बड़ी संख्या मिलेगी (मान लीजिए $X$ )।
पुराने नियम के अनुसार, पहले 3959 नंबरों ( $31 + 3928$ ) में वीआईपी की कुल संख्या $10 + X$ के कम या उसके बराबर होनी चाहिए।

लेकिन जब इबारा ने गणित लगाया, तो उन्होंने पाया कि पहले 3959 नंबरों में 697 वीआईपी थे।
जब उन्होंने पहले 31 के वीआईपी ($10 $) और पहले **3928** के वीआईपी ($ X$) को जोड़ा, तो उन्हें 696 प्राप्त हुआ।

697, 696 से अधिक है।

पार्टी के बीच में (विशेष रूप से 3929 से 3959 के बीच के हिस्से में) वीआईपी इतने घने थे कि उन्होंने 11 नए मेहमानों को समाहित किया, जबकि पार्टी के पहले हिस्से (1 से 31) में केवल 10 ही थे। यह ऐसा है जैसे कमरे के बीच में एक गुप्त वीआईपी लाउंज मिल जाए जो प्रवेश हॉल की तुलना में अधिक भीड़भाड़ वाला हो।

यह केवल एक अनुमान या सिमुलेशन नहीं है; शोध पत्र इसे पूर्ण निश्चितता के साथ सिद्ध करता है। लेखक ने केवल एक प्रोग्राम नहीं चलाया और उम्मीद नहीं की; उन्होंने लीन 4 (Lean 4) नामक एक औपचारिक प्रमाण प्रणाली का उपयोग किया, जो एक अत्यंत सख्त रेफरी की तरह कार्य करती है जो यह सुनिश्चित करने के लिए हर एक तार्किक चरण की जाँच करती है कि कोई गलती न हो। रेफरी ने पुष्टि की कि यह काउंटर-एग्जांपल (counterexample) वास्तविक है और पुराना नियम निश्चित रूप से गलत है।

दिलचस्प बात यह है कि कोहेन ने स्वयं बाद में स्वीकार किया कि उनकी प्रारंभिक खोज उनके कंप्यूटर कोड में एक छोटी सी त्रुटि के कारण छूट गई थी। अब जब कोड ठीक हो गया है और काउंटर-एग्जांपल सत्यापित हो गया है, तो हम निश्चित रूप से जानते हैं कि इन विशेष संख्याओं के लिए "नो डबल-डिपिंग" नियम लागू नहीं होता है। यह साबित हुआ है कि कभी-कभी, पार्टी का मध्य भाग शुरुआत की तुलना में अधिक रोमांचक होता है।

तकनीकी सारांश: सोफी जर्मेन चक्रीय संख्याओं के लिए कोहेन के उप-योगजता अनुमान का एक प्रति-उदाहरण

समस्या विवरण
यह शोध पत्र जे. ई. कोहेन द्वारा प्रस्तावित "सोफी जर्मेन चक्रीय" पूर्णांकों के वितरण के संबंध में एक अनुमान को संबोधित करता है। एक पूर्णांक $n \ge 1$ को चक्रीय (cyclic) कहा जाता है यदि $\gcd(n, \phi(n)) = 1$ हो (अर्थात, यदि क्रम $n$ का प्रत्येक समूह चक्रीय हो)। एक पूर्णांक सोफी जर्मेन चक्रीय तब होता है जब $n$ और $2n+1$ दोनों चक्रीय हों। यदि $C_\sigma(N)$ अंतराल $[1, N]$ में इन पूर्णांकों के लिए गणना फलन (counting function) है, तो कोहेन ने अनुमान लगाया था कि $C_\sigma$ उप-योगज (subadditive) है, विशेष रूप से सभी पूर्णांकों $1 \le m \le n$ के लिए:
$C_\sigma(m + n) \le C_\sigma(m) + C_\sigma(n)$
यह $\pi$ के अभाज्य गणना फलन के संबंध में दूसरी हार्डी-लिटिलवुड अनुमान का चक्रीय संस्करण है। कोहेन ने बिना कोई प्रति-उदाहरण खोजे $10^6$ तक के $m, n$ के लिए इस असमानता को सत्यापित किया, लेकिन इसकी सामान्य वैधता को खुला छोड़ दिया।

कार्यप्रणाली
लेखक इस अनुमान को गलत सिद्ध करने के लिए एक प्रत्यक्ष कम्प्यूटेशनल और तार्किक दृष्टिकोण अपनाते हैं:

लक्षित खोज (Targeted Search): एक व्यापक खोज के बजाय, लेखक एक विशिष्ट विंडो $(m, m+n]$ की पहचान करते हैं जहाँ सोफी जर्मेन चक्रीय पूर्णांकों का घनत्व प्रारंभिक खंड $[1, m]$ की तुलना में अधिक है।
स्पष्ट गणना (Explicit Enumeration): प्रमाण विशिष्ट श्रेणियों के भीतर सोफी जर्मेन चक्रीय पूर्णांकों की सीमित गणना पर निर्भर करता है। लेखक $m=31$ के लिए $C_\sigma$ की सटीक गणना करते हैं और $n=3928$ से शुरू होने वाली 31 की लंबाई वाली एक विंडो (अर्थात, अंतराल $(3928, 3959]$ ) की पहचान करते हैं।
औपचारिक सत्यापन (Formal Verification): परिणामों को mathlib लाइब्रेरी के ऊपर Lean 4 प्रूफ़ असिस्टेंट का उपयोग करके सत्यापित किया गया है। औपचारिककरण चक्रीय संख्याओं को Nat.Coprime n (Nat.totient n) के माध्यम से परिभाषित करता है और $C_\sigma$ की गणना को सत्यापित करता है। महत्वपूर्ण रूप से, प्रमाण को स्वयं Lean कर्नेल द्वारा जांचा गया है, जो केवल मानक अभिगृयों (propext, Classical.choice, Quot.sound) पर निर्भर करता है और native_decide जैसे मूल निर्णय प्रक्रियाओं से बचता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि परिणाम एक कम्प्यूटेशनल आर्टिफैक्ट के बजाय एक प्रमेय है।

मुख्य परिणाम
शोध पत्र कोहेन के अनुमान 66 के लिए एक ठोस प्रति-उदाहरण प्रदान करता है:

पैरामीटर्स: $m = 31$ और $n = 3928$ ।
गणनाएँ:
- $C_\sigma(31) = 10$ (ये पूर्णांक हैं 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 17, 23, 29)।
- अंतराल $(3928, 3959]$ में 11 सोफी जर्मेन चक्रीय पूर्णांक हैं: 3929, 3931, 3935, 3941, 3943, 3945, 3947, 3949, 3953, 3957, 3959।
- फलस्वरूप, $C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11$ ।
असमानता उल्लंघन:
$C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11 > C_\sigma(3928) + 10 = C_\sigma(3928) + C_\sigma(31)$
अतः, $C_\sigma(31 + 3928) > C_\sigma(31) + C_\sigma(3928)$ , जो उप-योगजता के दावे को गलत सिद्ध करता है।

लेखक नोट करते हैं कि प्रमाण के लिए $C_\sigma(3928)$ का विशिष्ट मान अप्रासंगिक है; प्रमाण केवल इस तथ्य पर निर्भर करता है कि विंडो $(3928, 3959]$ अंतराल $[1, 31]$ की तुलना में अधिक सघन है।

महत्व और दावे
शोध पत्र निम्नलिखित महत्व का दावा करता है:

एक खुले प्रश्न का समाधान: यह निश्चित रूप से सिद्ध करता है कि कोहेन का अनुमान 66 गलत है, जिससे एक ऐसा प्रश्न समाप्त होता है जो $10^6$ तक की खोज के बाद भी खुला रह गया था।
पिछले कार्य का सुधार: लेखक उल्लेख करते हैं कि कोहेन की मूल खोज में प्रति-उदाहरण खोजने में उनकी विफलता उनके कंप्यूटर कोड में त्रुटि के कारण थी, जिसकी पुष्टि कोहेन ने स्वयं इस शोध पत्र के निष्कर्षों के बाद की।
सैद्धांतिक निरंतरता: सोफी जर्मेन चक्रीय संख्याओं के लिए उप-योगजता अनुमान की असत्यता, अभाज्य संख्याओं के लिए समान अनुमान (हार्डी-लिटिलवुड) के गलत होने और प्राइम $k$ -टुपल्स अनुमान के साथ असंगत होने के सामान्य विश्वास के अनुरूप है।
औपचारिक कठोरता: परिणाम को Lean 4 में इसके औपचारिक सत्यापन द्वारा विशिष्ट बनाया गया है, जो एक कर्नेल-चेक्ड प्रमाण प्रदान करता है कि प्रति-उदाहरण कोहेन की मूल (त्रुटिपूर्ण) खोज सीमा के भीतर ही स्थित है।

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि इस प्रकार के प्रति-उदाहरण दुर्लभ नहीं हैं, लेकिन यह विशिष्ट उदाहरण इसलिए उल्लेखनीय है क्योंकि यह कोहेन की मूल (त्रुटिपूर्ण) खोज सीमा के भीतर स्थित है।

इसी तरह के और पेपर