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A counterexample to a subadditivity conjecture of Cohen for Sophie Germain cyclic numbers

本論文は、 $m=31$ および $n=3928$ における特定の反例を提示することによって、ソフィー・ジェルマン型巡回数に関するコーエンの劣加法性予想を覆しており、この結果はLean 4カーネルによって正式に検証されている。

原著者： Josué Alexander Ibarra

公開日 2026-07-14

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原著者： Josué Alexander Ibarra

原論文は CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) でライセンスされています。 ✨ これは以下の論文のAI生成解説です。著者が執筆または承認したものではありません。技術的な正確性については原論文を参照してください。免責事項の全文を読む

想像してみてください。あなたは、ある大規模なパーティーを企画しています。ゲストリストは「巡回数（cyclic numbers）」と呼ばれる特別な数字たちで構成されています。彼らは数字の世界におけるVIPです。彼らには、その数と同じ大きさのグループであれば、どんな形でも混乱なく完璧な円形に並べることができるという、ユニークな超能力があります。さらにクールなクラブとして、「ソフィー・ジェルマン巡回数」というものがあります。このクラブに入るには、その数字自体がVIPであり、かつその「プラスワン」の双子（具体的には $2n + 1$ ）もまたVIPでなければなりません。

長年、コーエンという数学者は、これらのVIPがどのように広がっているかについてある直感を持っていました。彼は、それが**劣加法性（subadditivity）**と呼ばれるルールに従っていると考えていました。これは、カウントにおける「二重取り禁止」のルールのようです。そのルールとは、もし $m$ 人という小さなグループの中にいるVIPの数を数え、そこに $n$ 人という大きなグループの中にいるVIPの数を足したとき、その合計は、単に結合された $m + n$ 人のグループの中にいるVIPの数よりも常に大きくなる（あるいは等しくなる）はずだ、というものです。言い換えれば、パーティーの最初から始まる最初のスライスで見つかる密度よりも、ランダムなスライスの中に密集したVIPの群れを見つけることはできない、ということです。

コーエンは、100万（ $10^6$ ）までの数百万もの数字をチェックしましたが、この鎧にわずかな隙間も見つけることができませんでした。彼は非常に自信を持っていたため、これを**予想66（Conjecture 66）**として書き留めました。

しかし、ここにどんでん返しが待っていました。ルールは破られたのです。

ホセ・アレクサンダー・イバラという数学者が、パーティーが予想以上に混雑している特定の場所を見つけ出し、「二重取り禁止」のルールを打ち破りました。彼は、31と3928という2つの特定の数字に注目しました。

最初の31個の数字の中にいるVIPを数えると、ちょうど10人でした。
最初の3928個の数字の中にいるVIPを数えると、ある大きな数（これを $X$ と呼びます）になります。
古いルールによれば、最初の3959個（これは $31 + 3928$ です）の数字の中にいるVIPの総数は、 $10 + X$ 以下であるはずです。

しかし、イバラが計算してみると、最初の3959個の中に697人のVIPがいることがわかりました。
彼が最初の31個のVIP（$10$）と最初の3928個のVIP（ $X$ ）を足し合わせると、696になりました。

697は696よりも大きいのです。

パーティーの中盤（具体的には3929から3959の区間）にいるVIPたちが非常に密集しており、彼らは11人の新しいゲストを詰め込んでいた一方で、最初の区間（1から31）には10人しかいなかったのです。それはまるで、入り口のホールよりも、部屋の真ん中にある秘密のVIPラウンジの方が混雑しているのを見つけたようなものです。

これは単なる推測やシミュレーションではありません。論文はその事実を絶対的な確実性をもって証明しています。著者は単にプログラムを実行して期待しただけではありません。彼はLean 4という形式証明システムを使用しました。これは、論理的なステップに間違いがないことを確認する、非常に厳格な審判のようなものです。審判は、この反例が実在すること、そして古いルールが間違いなく偽であることを確認しました。

興味深いことに、コーエン自身も後に、自身のコンピュータコードの小さなエラーによって、今回の件を見逃したことを認めています。今やコードは修正され、反例も検証されたため、これらの特別な数字に関する「二重取り禁止」のルールが成立しないことが確実になりました。時には、パーティーの始まりよりも、真ん中のほうがエキサイティングなこともあるのです。

技術要約：ソフィー・ジェルマン型巡回数に関するコーエンの劣加法性予想に対する反例

問題提起
本論文は、J. E. コーエン（J. E. Cohen）が提唱した「ソフィー・ジェルマン型巡回（Sophie Germain cyclic）」整数の分布に関する予想を取り扱う。整数 $n \ge 1$ は、 $\gcd(n, \phi(n)) = 1$ であるとき（これは、位数 $n$ のすべての群が巡回群であることと同値である）、巡回的（cyclic）であると定義される。 $n$ がソフィー・ジェルマン型巡回数であるとは、 $n$ と $2n+1$ の両方が巡回的であることを指す。 $C_\sigma(N)$ を、区間 $[1, N]$ におけるこれらの整数の計数関数とする。

コーエンは、 $C_\sigma$ が劣加性的である、すなわち全ての整数 $1 \le m \le n$ に対して次が成り立つと予想した：
$C_\sigma(m + n) \le C_\sigma(m) + C_\sigma(n)$
これは、素数計数関数 $\pi$ に関する第二ハーディ・リトルウッド予想の巡回数版である。コーエンは、反例を見つけることなく $m, n \le 10^6$ の範囲でこの不等式を検証したが、その一般的な妥当性は未解決のまま残された。

手法
著者は、直接的な計算および論理的アプローチを用いて、この予想を論破する。

標的探索: 広範な探索を行う代わりに、著者は、初期セグメント $[1, m]$ における密度よりも、特定の窓 $(m, m+n]$ における密度の高い領域を特定する。
明示的な列挙: 証明は、特定の範囲内におけるソフィー・ジェルマン型巡回数の有限列挙に基づいている。著者は $m=31$ に対する正確な数を計算し、 $n=3928$ から始まる長さ 31 の窓（すなわち、区間 $(3928, 3959]$ ）を特定した。
形式的検証: 結果は、mathlib ライブラリを用いた Lean 4 証明助手によって検証される。この形式化では、巡回数を Nat.Coprime n (Nat.totient n) によって定義し、 $C_\sigma$ を検証する。決定的なのは、この証明が標準的な公理（propext, Classical.choice, Quot.sound）のみに依拠し、ネイティブ決定手続き（native_decide）を回避して、Lean カーネル自体によってチェックされている点であり、これにより結果が計算上の産物ではなく定理であることを保証している。

主要な結果
本論文は、コーエンの予想 66 に対する具体的な反例を提示する。

パラメータ: $m = 31$ および $n = 3928$ 。
カウント:
- $C_\sigma(31) = 10$ （整数は 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 17, 23, 29）。
- 区間 $(3928, 3959]$ には 11 個のソフィー・ジェルマン型巡回数が含まれる：3929, 3931, 3935, 3941, 3943, 3945, 3947, 3949, 3953, 3957, 3959。
- したがって、
  $C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11$
不等式の違反:
$C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11 > C_\sigma(3928) + 10 = C_\sigma(3928) + C_\sigma(31)$
ゆえに、 $C_\sigma(31 + 3928) > C_\sigma(31) + C_\sigma(3928)$ となり、劣加性の主張が覆される。

著者は、 $C_\sigma(3928)$ の具体的な値は証明には無関係であり、証明は単に窓 $(3928, 3959]$ が $[1, 31]$ よりも高密度であるという事実に依存していることを指摘している。

意義および主張
本論文は、以下の意義を主張している：

未解決問題の解決: コーエンの予想 66 が偽であることを決定的に証明し、 $10^6$ までの探索で残された問題を解決した。
先行研究の訂正: 著者は、コーエンが元の探索で見落とした原因が、彼のコンピュータコードのエラーであったことを指摘しており、これは本論文の結果を受けてコーエン自身によっても確認されている。
理論的一貫性: ソフィー・ジェルマン型巡回数に関する劣加性予想の偽性は、素数に関する類似の予想（ハーディ・リトルウッド）もまた偽であり、素数 $k$ つるべ予想（prime $k$ -tuples conjecture）と両立しないという一般的な信念と一致している。
形式的厳密性: この結果は Lean 4 による形式的検証によって特徴付けられており、反例がコーエンの元の（誤った）探索範囲内に存在することを、カーネルチェックされた証明によって提供している。

本論文は、この種の反例は珍しいものではないと結論づけているが、この特定の事例は、コーエンの元の（誤った）探索範囲内に位置しているという点で注目に値する。

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