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A counterexample to a subadditivity conjecture of Cohen for Sophie Germain cyclic numbers

Este artículo refuta la conjetura de subaditividad de Cohen para los números cíclicos de Sophie Germain al presentar un contraejemplo específico en $m=31$ y $n=3928$ , un resultado que ha sido verificado formalmente por el núcleo de Lean 4.

Autores originales: Josué Alexander Ibarra

Publicado 2026-07-14

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CC BY 4.0

Autores originales: Josué Alexander Ibarra

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que estás organizando una fiesta masiva donde la lista de invitados está compuesta por números especiales llamados "números cíclicos". Estos son los VIP del mundo de los números: tienen un superpoder único donde cada grupo de ese tamaño puede organizarse en un círculo perfecto sin caos. Hay un club aún más genial llamado "números cíclicos de Sophie Germain". Para entrar, un número tiene que ser un VIP en sí mismo, y su gemelo "más uno" (específicamente, $2n + 1$ ) también tiene que ser un VIP.

Durante años, un matemático llamado Cohen tuvo una corazonada sobre cómo se distribuían estos VIPs. Pensó que seguían una regla llamada subaditividad. Piensa en esto como una regla de "no duplicar beneficios" para contar invitados. La regla dice: si cuentas cuántos VIPs hay en un grupo pequeño de $m$ personas y sumas eso al conteo de VIPs en un grupo más grande de $n$ personas, el total siempre debería ser al menos tan grande como el número de VIPs que encontrarías si simplemente miraras un solo grupo combinado de $m + n$ personas. En otras palabras, no puedes encontrar una multitud de VIPs más densa en una rebanada aleatoria de la fiesta que en la primera rebanada empezando desde el principio.

Cohen revisó esta regla para millones de números (hasta $10^6$ ) y no pudo encontrar ni una sola grieta en la armadura. Estaba tan seguro que la escribió como la Conjetura 66.

Pero aquí viene el giro de la trama: la regla se rompe.

Un matemático llamado Josué Alexander Ibarra encontró un lugar específico donde la fiesta se vuelve sorprendentemente concurrida, rompiendo la regla de "no duplicar beneficios". Él miró dos números específicos: 31 y 3928.

Si cuentas los VIPs en los primeros 31 números, encuentras exactamente 10 de ellos.
Si cuentas los VIPs en los primeros 3928 números, obtienes un número grande (llamémoslo $X$ ).
Según la vieja regla, el total de VIPs en los primeros 3959 números (que es $31 + 3928$ ) debería ser menor o igual a $10 + X$ .

Pero cuando Ibarra hizo las matemáticas, encontró 697 VIPs en los primeros 3959 números.
Cuando sumó los VIPs de los primeros 31 ($10$) y los primeros 3928 ( $X$ ), obtuvo 696.

697 es mayor que 696.

La regla falló. Los VIPs en medio de la fiesta (específicamente en el tramo de 3929 a 3959) eran tan densos que empaquetaron 11 nuevos invitados, mientras que el primer tramo de la fiesta (1 a 31) solo tenía 10. Es como encontrar un salón VIP secreto en medio de la habitación que está más concurrido que la entrada principal.

Esto no es solo una suposición o una simulación; el artículo lo prueba con absoluta certeza. El autor no solo ejecutó un programa y esperó suerte; usó un sistema de prueba formal llamado Lean 4, que actúa como un árbitro súper estricto que revisa cada paso lógico para asegurar que no haya errores. El árbitro confirmó que el contraejemplo es real y que la vieja regla es definitivamente falsa.

Curiosamente, el propio Cohen admitió más tarde que su búsqueda anterior falló debido a un pequeño error en su código de computadora. Ahora que el código está corregido y el contraejemplo está verificado, sabemos con certeza que la regla de "no duplicar beneficios" para estos números especiales no se sostiene. Resulta que, a veces, el medio de la fiesta es simplemente más emocionante que el principio.

Resumen Técnico: Un Contraejemplo a la Conjetura de Subaditividad de Cohen para Números Cíclicos de Sophie Germain

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una conjetura propuesta por J. E. Cohen sobre la distribución de los enteros "cíclicos de Sophie Germain". Un entero $n \ge 1$ se define como cíclico si $\gcd(n, \phi(n)) = 1$ (equivalentemente, si todo grupo de orden $n$ es cíclico). Un entero es cíclico de Sophie Germain si tanto $n$ como $2n+1$ son cíclicos. Sea $C_\sigma(N)$ la función de conteo para estos enteros en el intervalo $[1, N]$ .

Cohen conjeturó que $C_\sigma$ es subaditiva, específicamente que para todos los enteros $1 \le m \le n$ :
$C_\sigma(m + n) \le C_\sigma(m) + C_\sigma(n)$
Esta es la analogía cíclica de la segunda conjetura de Hardy–Littlewood relativa a la función de conteo de primos $\pi$ . Aunque Cohen verificó esta desigualdad para $m, n \le 10^6$ sin encontrar un contraejemplo, dejó abierta su validez general.

Metodología
El autor emplea un enfoque computacional y lógico directo para refutar la conjetura:

Búsqueda Dirigida: En lugar de una búsqueda amplia, el autor identifica una ventana específica $(m, m+n]$ donde la densidad de los enteros cíclicos de Sophie Germain excede la densidad en el segmento inicial $[1, m]$ .
Enumeración Explícita: La prueba se basa en la enumeración finita de los enteros cíclicos de Sophie Germain dentro de rangos específicos. El autor calcula el conteo exacto para $m=31$ e identifica una ventana de longitud 31 que comienza en $n=3928$ (es decir, el intervalo $(3928, 3959]$ ).
Verificación Formal: Los resultados se verifican utilizando el asistente de pruebas Lean 4 sobre la biblioteca mathlib. La formalización define los números cíclicos mediante Nat.Coprime n (Nat.totient n) y verifica la función de conteo $C_\sigma$ . Crucialmente, la prueba es comprobada por el propio núcleo (kernel) de Lean, apoyándose únicamente en axiomas estándar (propext, Classical.choice, Quot.sound) y evitando procedimientos de decisión nativos (native_decide), asegurando que el resultado sea un teorema y no un artefacto computacional.

Resultados Clave
El artículo proporciona un contraejemplo concreto a la Conjetura 66 de Cohen:

Parámetros: $m = 31$ y $n = 3928$ .
Conteos:
- $C_\sigma(31) = 10$ (Los enteros son 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 17, 23, 29).
- El intervalo $(3928, 3959]$ contiene 11 enteros cíclicos de Sophie Germain: 3929, 3931, 3935, 3941, 3943, 3945, 3947, 3949, 3953, 3957, 3959.
- En consecuencia, $C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11$ .
Violación de la Desigualdad:
$C_\sigma(3959) = C_\sigma(3928) + 11 > C_\sigma(3928) + 10 = C_\sigma(3928) + C_\sigma(31)$
Por lo tanto, $C_\sigma(31 + 3928) > C_\sigma(31) + C_\sigma(3928)$ , refutando la afirmación de subaditividad.

El autor señala que el valor específico de $C_\sigma(3928)$ es irrelevante para la prueba; la refutación depende únicamente del hecho de que la ventana $(3928, 3959]$ es más densa que $[1, 31]$ .

Significado y Reivindicaciones
El artículo reclama la siguiente significancia:

Resolución de un Problema Abierto: Demuestra definitivamente que la Conjetura 66 de Cohen es falsa, cerrando una cuestión que quedó abierta tras una búsqueda hasta $10^6$ .
Corrección de Trabajo Previo: El autor señala que el fallo de Cohen al no encontrar un contraejemplo en su búsqueda original se debió a un error en su código computacional, un hecho confirmado por el propio Cohen tras los hallazgos de este artículo.
Consistencia Teórica: La falsedad de la conjetura de subaditividad para los números cíclicos de Sophie Germain se alinea con la creencia general de que la conjetura análoga para los primos (Hardy–Littlewood) también es falsa e incompatible con la conjetura de los $k$ -tuplas de primos.
Rigor Formal: El resultado se distingue por su verificación formal en Lean 4, proporcionando una prueba comprobada por el kernel de que el contraejemplo se encuentra dentro del rango previamente buscado ( $m, n \le 10^6$ ).

El artículo concluye que los contraejemplos de esta naturaleza no son raros, pero este caso específico es notable por su ubicación dentro del rango de la búsqueda original (errónea) de Cohen.

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