Obstructions to embedding singular curves in toric varieties

Technische Zusammenfassung: Hindernisse für die Einbettung singulärer Kurven in torische Varietäten

Problemstellung
Die Arbeit befasst sich mit dem Problem der Einbettung projektiver Kurven in torische Varietäten. Während jede glatte projektive Kurve in $\mathbb{P}^3$ einbettbar ist, stehen singuläre Kurven vor lokalen Hindernissen: Wenn ein singulärer Punkt $p$ einen Zariski-Tangentialraum der Dimension $d$ besitzt, kann die Kurve in keine glatte projektive Varietät der Dimension strikt kleiner als $d$ eingebettet werden. Eine natürliche Strategie zur Umgehung dieses Problems besteht darin, die Kurve in eine singuläre Umgebungsvarietät einzubetten, wie etwa einen gewichteten projektiven Raum oder eine allgemeine torische Varietät, in der der Tangentialraum an einem singulären Punkt ausreichend groß sein kann.

Die zentrale Frage lautet, ob jede projektive Kurve in einen gewichteten projektiven Dreierraum einbettbar ist (Frage 1.1). Die Autoren untersuchen, ob es reduzierte, irreduzible Kurven gibt, die in $\mathbb{P}^d$ einbettbar sind, aber nicht in eine projektive normale torische Varietät der Dimension kleiner als $d$ eingebettet werden können.

Methodik
Die Autoren verwenden eine Lokal-zu-Global-Strategie, die sich auf die Geometrie der Tangentialkegel an singulären Punkten konzentriert.

1. Lokales Hindernis über Linienanordnungen: Der Kern des Arguments beinhaltet die Analyse von „konzentrischen Linienanordnungen“ $C_\Gamma$, die definiert sind als der Kegel über einer Menge von $m$ Punkten $\Gamma$ in einer Hyperebene $H \subset \mathbb{P}^d$ mit Scheitelpunkt $p$. Die projektivierte Tangentialkegelstruktur am Scheitelpunkt ist isomorph zur Konfiguration $\Gamma$.
2. Dimensionenzählung und Moduliräume: Die Autoren vergleichen die Dimension des Moduliraus der derartigen Linienanordnungen mit der Dimension der Familien von Tangentialkegeln, die in Zielvarietäten verfügbar sind.
   • Sie stellen fest, dass für eine ausreichend große Anzahl von Linien $m$ der Moduliraus der Isomorphieklassen von $C_\Gamma$ die Dimension $m(d-1) - d^2 + 1$ besitzt (Korollar 3.3).
   • Sie analysieren Familien von $\delta$-dimensionalen Varietäten (wobei $\delta < d$) und zeigen, dass die in diesen Familien vorkommenden Tangentialkegel in Familien mit beschränkter Dimension variieren.
   • Durch Dimensionenzählung demonstrieren sie, dass eine „sehr allgemeine“ Anordnung $C_\Gamma$ keine vertex-erhaltende abgeschlossene Immersion in den Tangentialkegel eines Punktes in einer Varietät der Dimension $\delta < d$ zulassen kann (Theorem 3.6).
3. Konstruktion singulärer Kurven: Um dieses lokale Hindernis auf tatsächliche Kurven anzuwenden, konstruieren die Autoren eine reduzierte, irreduzible Kurve $C \subset \mathbb{P}^d$ mit einem eindeutigen singulären Punkt $p$, so dass der vervollständigte Tangentialkegel $TC_p C$ eine vorgegebene Anordnung $C_\Gamma$ enthält (Proposition 4.1). Dies wird durch eine Sequenz von Blow-ups und Anwendungen des Bertini-Theorems erreicht.
4. Unterscheidung zwischen normalen und nicht-normalen torischen Varietäten: Die Autoren unterscheiden zwischen normalen und nicht-normalen torischen Varietäten. Sie zeigen, dass während normale torische Varietäten nur abzählbar viele Isomorphieklassen von Tangentialkegeln besitzen (was die Dimensionenzählung ermöglicht, um Einbettungen auszuschließen), nicht-normale torische Varietäten so konstruiert werden können, dass sie jede spezifische Linienanordnung enthalten (Theorem 3.11).

Wesentliche Ergebnisse

• Hauptsatz (Theorem 1.2 & Theorem 4.2): Für jede ganze Zahl $d \geq 2$ existiert eine reduzierte, irreduzible projektive Kurve $C_d \subset \mathbb{P}^d$, die nicht in eine projektive normale torische Varietät der Dimension kleiner als $d$ eingebettet werden kann.
  • Dieses Resultat wird verallgemeinert, um zu zeigen, dass es für jede abzählbare Sammlung von Familien von Varietäten mit Dimensionen strikt kleiner als $d$ und beschränkten Basisdimensionen eine Kurve gibt, die in keine von ihnen eingebettet werden kann.
• Korollar zu gewichteten projektiven Räumen: Da gewichtete projektive Räume normale torische Varietäten sind, impliziert das Haupttheorem, dass für jedes $d \geq 2$ eine Kurve in $\mathbb{P}^d$ existiert, die nicht in einen gewichteten projektiven Raum der Dimension kleiner als $d$ eingebettet werden kann. Dies liefert eine negative Antwort auf Frage 1.1 für $d=4$.
• Lokal vs. Global: Die Autoren klären, dass das Hindernis sensitiv gegenüber der „Normalität“-Hypothese ist.
  • Normaler Fall: Das lokale Hindernis (Dimension des Tangentialkegels) ist ausreichend, um die Einbettung in torische Varietäten niedrigerer Dimension zu verhindern.
  • Nicht-normaler Fall: Jede konzentrische Linienanordnung $C_\Gamma$ lässt sich in eine nicht-normale projektive torische Dreier-Varietät einbetten (Theorem 3.11).
  • Lineare Projektionen: Jede $C_\Gamma$ kann in eine lineare Projektion eines gewichteten projektiven Ebenenraums $\mathbb{P}(1, 1, n)$ für großes $n$ eingebettet werden (Theorem 3.9), obwohl diese Projektionen im Allgemeinen nicht torisch sind.
• Globale Hindernisse für glatte Kurven: Die Autoren merken an, dass auch für glatte Kurven globale Hindernisse existieren. Beispielsweise lassen sich allgemeine glatte Kurven vom Geschlecht $g > 10$ weder in Kegeln über glatten rationalen Kurven (Bemerkung 4.3) noch in irgendeiner Hirzebruch-Fläche einbetten.

Bedeutung und Umfang
Die Arbeit stellt fest, dass die Klasse der projektiven normalen torischen Varietäten (und gewichteten projektiven Räume) nicht „universell“ für die Einbettung projektiver Kurven ist, selbst wenn man singuläre Umgebungsvarietäten niedrigerer Dimension zulässt. Die Autoren zeigen, dass die lokale Geometrie des Tangentialkegels an einem singulären Punkt strikte Beschränkungen für die Dimension der Umgebungsvarietät auferlegt, sofern die Varietät normal und torisch sein muss.

Die Arbeit hebt einen fundamentalen Unterschied zwischen normalen und nicht-normalen torischen Varietäten hinsichtlich der Einbettungsfähigkeiten hervor. Während normale torische Varietäten durch die Dimensionenzählung der Tangentialkegel starr genug sind, um behindert zu werden, sind nicht-normale torische Varietäten flexibel genug, um jede endliche Anordnung konzentrischer Linien aufzunehmen.

Die Arbeit schließt mit der Formulierung offener Fragen zur Klassifizierung von Kurven, die tatsächlich Einbettungen in normale torische Dreier-Varietäten zulassen, sowie zur Erweiterung dieser Einbettungsprobleme auf höherdimensionale glatte Varietäten, wobei angemerkt wird, dass die Situation für Flächen wesentlich subtiler ist als für Kurven.