Obstructions to embedding singular curves in toric varieties

Résumé technique : Obstructions à l'immersion de courbes singulières dans des variétés toriques

Énoncé du problème
L'article traite du problème de l'immersion de courbes projectives dans des variétés toriques. Si toute courbe projective lisse s'immerge dans $\mathbb{P}^3$, les courbes singulières font face à des obstructions locales : si un point singulier $p$ possède un espace tangent de Zariski de dimension $d$, la courbe ne peut pas s'immerger dans aucune variété projective lisse de dimension strictement inférieure à $d$. Une stratégie naturelle pour contourner cela est d'immerger la courbe dans une variété ambiante singulière, telle qu'un espace projectif pondéré ou une variété torique générale, où l'espace tangent en un point singulier peut être suffisamment grand.

La question centrale posée est de savoir si toute courbe projective peut s'immerger dans un espace projectif pondéré de dimension trois (Question 1.1). Les auteurs cherchent à savoir s'il existe des courbes réduites et irréductibles qui s'immergent dans $\mathbb{P}^d$ mais échouent à s'immerger dans toute variété torique normale projective de dimension strictement inférieure à $d$.

Méthodologie
Les auteurs emploient une stratégie du local au global, en se concentrant sur la géométrie des cônes tangents aux points singuliers.

1. Obstruction locale via les arrangements de droites : Le cœur de l'argument implique l'analyse d'« arrangements de droites concourantes » $C_\Gamma$, définis comme le cône sur un ensemble de $m$ points $\Gamma$ dans un hyperplan $H \subset \mathbb{P}^d$ avec sommet $p$. Le cône tangent projectivisé au sommet est isomorphe à la configuration $\Gamma$.
2. Comptage de dimensions et espaces de modules : Les auteurs comparent la dimension de l'espace de modules des arrangements de droites par rapport à la dimension des familles de cônes tangents disponibles dans les variétés cibles.
   • Ils établissent que pour un nombre suffisamment grand de droites $m$, l'espace de modules des classes d'isomorphisme de $C_\Gamma$ a pour dimension $m(d-1) - d^2 + 1$ (Corollaire 3.3).
   • Ils analysent des familles de variétés de dimension $\delta$ (où $\delta < d$) et montrent que les cônes tangents apparaissant dans ces familles varient dans des familles de dimension bornée.
   • Par le comptage de dimensions, ils démontrent que si $m$ est assez grand, un arrangement $C_\Gamma$ « très général » ne peut admettre d'immersion fermée préservant le sommet dans le cône tangent de n'importe quel point d'une variété de dimension $\delta < d$ (Théorème 3.6).
3. Construction de courbes singulières : Pour appliquer cette obstruction locale à des courbes réelles, les auteurs construisent une courbe réduite et irréductible $C \subset \mathbb{P}^d$ possédant un unique point singulier $p$ tel que le cône tangent achevé $TC_p C$ contient un arrangement $C_\Gamma$ prescrit (Proposition 4.1). Ceci est réalisé via une séquence de soufflements et d'applications du théorème de Bertini.
4. Distinction entre variétés toriques normales et non normales : Les auteurs distinguent les variétés toriques normales des variétés toriques non normales. Ils montrent que, tandis que les variétés toriques normales n'ont que des classes d'isomorphisme dénombrables de cônes tangents (permettant au comptage de dimensions d'exclure les immersions), les variétés toriques non normales peuvent être construites pour contenir n'importe quel arrangement de droites spécifique (Théorème 3.11).

Résultats clés

• Théorème principal (Théorème 1.2 & Théorème 4.2) : Pour tout entier $d \geq 2$, il existe une courbe projective réduite et irréductible $C_d \subset \mathbb{P}^d$ qui ne s'immerge dans aucune variété torique normale projective de dimension inférieure à $d$.
  • Ce résultat est généralisé pour montrer que pour toute collection dénombrable de familles de variétés ayant des dimensions strictement inférieures à $d$ et des dimensions de base bornées, il existe une courbe qui ne s'immerge dans aucune d'entre elles.
• Corollaire sur les espaces projectifs pondérés : Puisque les espaces projectifs pondérés sont des variétés toriques normales, le théorème principal implique que pour tout $d \geq 2$, il existe une courbe dans $\mathbb{P}^d$ qui ne s'immerge dans aucun espace projectif pondéré de dimension inférieure à $d$. Cela fournit une réponse négative à la Question 1.1 pour $d=4$.
• Local vs Global : L'article clarifie que l'obstruction est sensible à l'hypothèse de « normalité ».
  • Cas normal : L'obstruction locale (dimension du cône tangent) est suffisante pour empêcher l'immersion dans des variétés toriques normales de dimension inférieure.
  • Cas non normal : Tout arrangement de droites concourantes $C_\Gamma$ admet une immersion dans une variété torique projective non normale de dimension trois (Théorème 3.11).
  • Projections linéaires : Tout $C_\Gamma$ peut s'immerger dans une projection linéaire d'un plan projectif pondéré $\mathbb{P}(1, 1, n)$ pour un $n$ grand, bien que ces projections soient généralement non toriques (Théorème 3.9).
• Obstructions globales pour les courbes lisses : Les auteurs notent que même pour les courbes lisses, des obstructions globales existent. Par exemple, des courbes lisses générales de genre $g > 10$ ne s'immergent ni dans des cônes sur des courbes rationnelles lisses (Remarque 4.3), ni dans aucune surface de Hirzebruch.

Signification et portée
L'article établit que la classe des variétés toriques normales projectives (et des espaces projectifs pondérés) n'est pas « universelle » pour l'immersion de courbes projectives, même en autorisant des espaces ambiants singuliers de dimension inférieure. Les auteurs démontrent que la géométrie locale du cône tangent en un point singulier impose des contraintes strictes sur la dimension de la variété ambiante si celle-ci doit être normale et torique.

Le travail met en lumière une différence fondamentale entre les variétés toriques normales et non normales concernant les capacités d'immersion. Alors que les variétés toriques normales sont suffisamment rigides pour être obstruées par le comptage de dimensions des cônes tangents, les variétés toriques non normales sont suffisamment flexibles pour accommoder n'importe quel arrangement fini de droites concourantes.

L'article conclut en posant des questions ouvertes concernant la classification des courbes qui admettent effectivement des immersions dans des variétés toriques normales de dimension trois et l'extension de ces problèmes d'immersion aux variétés lisses de dimension supérieure, notant que la situation pour les surfaces est nettement plus subtile que pour les courbes.