Obstructions to embedding singular curves in toric varieties

技術要約：トーリック多様体への特異曲線の埋め込みにおける障害

問題提起
本論文は、射影曲線（projective curves）をトーリック多様体に埋め込む問題を取り扱う。すべての滑らかな射影曲線は $\mathbb{P}^3$ に埋め込めるが、特異を持つ曲線には局所的な障害が存在する。すなわち、特異点 $p$ のザリスキー接空間の次元が $d$ である場合、その曲線は次元が $d$ 未満のいかなる滑らかな射影多様体にも埋め込むことができない。これを回避するための自然な戦略は、重み付き射影空間や一般的なトーリック多様体のような、特異点における接空間が十分に大きくなり得る特異な周囲多様体へ曲線を埋め込むことである。

中心となる問いは、すべての射影曲線はある重み付き射影3次元多様体（weighted projective threefold）に埋め込めるのか（問い 1.1）という点である。著者らは、$\mathbb{P}^d$ には埋め込めるが、次元が $d$ 未満の任意の射影的かつ正規な（normal）トーリック多様体には埋め込めない既約簡約曲線が存在するかどうかを調査している。

手法
著者らは、局所から大域へと至る戦略を用い、特異点における接錐（tangent cone）の幾何学に焦点を当てている。

1. 線束による局所的障害: 論理の核となるのは、「同時共線的な線束（concurrent line arrangements）」$C_\Gamma$ の解析である。これは、頂点 $p$ を持つ、ハイパープレーン $H \subset \mathbb{P}^d$ 内の $m$ 個の点 $\Gamma$ の錐（cone）として定義される。頂点における射影化された接錐は、配置 $\Gamma$ と同型である。
2. 次元の計数とモジュライ空間: 著者らは、このような線束のモジュライ空間の次元と、対象となる多様体で利用可能な接錐の族の次元を比較する。
   • 彼らは、十分大きな $m$ に対して、このような $C_\Gamma$ の同型類からなるモジュライ空間の次元が $m(d-1) - d^2 + 1$ であることを確立している（系 3.3）。
   • 彼らは、$\delta$ 次元の多様体の族を分析し、それらの族に現れる接錐は、有界な次元の族として変化することを示す。
   • 次元の計数により、$m$ が十分に大きい場合、「非常に一般的な（very general）」配置 $C_\Gamma$ は、次元 $\delta < d$ の多様体における点の接錐への頂点保存的な閉埋め込みを持つことができないことを証明している（定理 3.6）。
3. 特異曲線の構成: この局所的な障害を実際の曲線に適用するために、完備化された接錐 $TC_p C$ が所定の配置 $C_\Gamma$ を含むような、$\mathbb{P}^d$ 内の既約簡約曲線 $C \subset \mathbb{P}^d$ と一意の特異点 $p$ を構成する（命題 4.1）。これは、吹上げ（blow-up）の列とベルティニの定理（Bertini's Theorem）の適用によって達成される。
4. 正規および非正規トーリック多様体の区別: 著者らは、正規なトーリック多様体と非正規なトーリック多様体を区別している。正規なトーリック多様体は接錐の同型類が可算個しか存在しない（これにより次元の計数による排除が可能になる）一方で、非正規なトーリック多様体は、任意の特定の線束を含むように構成できることを示している（定理 3.11）。

主要な結果

• 主要定理 (定理 1.2 および 定理 4.2): すべての整数 $d \geq 2$ に対して、次元が $d$ 未満のいかなる射影的正規トーリック多様体にも埋め込めない、既約簡約射影曲線 $C_d \subset \mathbb{P}^d$ が存在する。
  • この結果は、次元が $d$ 未満であり、かつ基底の次元が有界であるような、可算個の多様体の族の集まりに対して一般化されている。
• 重み付き射影空間に関する系: 重み付き射影空間は正規トーリック多様体であるため、主定理は、すべての $d \geq 2$ に対して、$\mathbb{P}^d$ 内の、ある種の曲線が次元 $d$ 未満の重み付き射影空間には埋め込めないことを意味する。これは、$d=4$ の場合における問い 1.1 への否定的な回答を与えている。
• 局所的 vs 大域的障害: 論文は、この障害が「正規」という仮定に敏感であることを明らかにしている。
  • 正規の場合: 局所的な障害（接錐の次元）は、低次元の正規トーリック多様体への埋め込みを防ぐのに十分である。
  • 非正規の場合: すべての同時共線的な線束 $C_\Gamma$ は、非正規な射影的トーリック3次元多様体へと埋め込むことができる（定理 3.11）。
  • 線形射影: すべての $C_\Gamma$ は、大きな $n$ を持つ重み付き射影平面 $\mathbb{P}(1, 1, n)$ の線形射影に埋め込むことができる（ただし、これらの射影は一般にトーリックではない）（定理 3.9）。
• 滑らかな曲線に関する大域的障害: 著者らは、滑らかな曲線に対しても大域的な障害が存在することを指摘している。例えば、種数 $g > 10$ の一般的な滑らかな曲線は、滑らかな有理曲線上の錐、あるいはいかなるヒルツェブルフ面（Hirzebruch surface）にも埋め込めない（注釈 4.3）。

意義と範囲
本論文は、射影的正規トーリック多様体（および重み付き射影空間）のクラスが、周囲の空間の次元を下げることを許容したとしても、曲線を埋め込むための「普遍的」な存在ではないことを確立している。著者らは、特異点における接錐の局所的な幾何学が、その多様体が正規かつトーリックである場合に、周囲の多様体の次元に対して厳格な制約を課すことを示している。

この研究は、正規なトーリック多様体と非正規なトーリック多様体に関する、埋め込み能力の根本的な違いを浮き彫りにしている。正規なトーリック多様体は、接錐の次元の計数によって阻止されるほど硬直的である一方、非正規なトーリック多様体は、いかなる有限の共線的な線束をも受け入れることができるほど柔軟である。

論文は、正規トーリック3次元多様体に埋め込みを持つ曲線（admit embeddings）の分類、およびこれらの埋め込み問題のより高次元の滑らかな多様体への拡張に関する未解決の問いを提示して締めくくっている。また、曲数の場合は表面（surface）の場合よりも著しく複雑であることを述べている。