Obstructions to embedding singular curves in toric varieties

Resumo Técnico: Obstruções ao Mergulho de Curvas Singulares em Variedades Toric

Enunciado do Problema
O artigo aborda o problema do mergulho de curvas projetivas em variedades toric. Embora toda curva projetiva suave possa ser mergulhada em $\mathbb{P}^3$, curvas singulares enfrentam obstruções locais: se um ponto singular $p$ possui um espaço tangente de Zariski de dimensão $d$, a curva não pode ser mergulhada em nenhuma variedade projetiva suave de dimensão estritamente menor que $d$. Uma estratégia natural para contornar isso é mergulhar a curva em uma variedade ambiente singular, como um espaço projetivo ponderado ou uma variedade toric geral, onde o espaço tangente em um ponto singular pode ser suficientemente grande.

A questão central levantada é se toda curva projetiva pode ser mergulhada em uma variedade toric projetiva tridimensional ponderada (Questão 1.1). Os autores investigam se existem curvas reduzidas e irredutíveis que se mergulham em $\mathbb{P}^d$, mas falham em se mergulhar em qualquer variedade toric projetiva normal de dimensão menor que $d$.

Metodologia
Os autores empregam uma estratégia de local-para-global, focando na geometria dos cones tangentes em pontos singulares.

1. Obstrução Local via Arranjos de Retas: O núcleo do argumento envolve a análise de "arranjos de retas concorrentes" $C_\Gamma$, definidos como o cone sobre um conjunto de $m$ pontos $\Gamma$ em um hiperplano $H \subset \mathbb{P}^d$ com vértice $p$. O cone tangente projetivizado no vértice é isomorfo à configuração $\Gamma$.
2. Contagem de Dimensões e Espaços de Móduli: Os autores comparam a dimensão do espaço de módulos de tais arranjos de retas contra a dimensão das famílias de cones tangentes disponíveis nas variedades alvo.
   • Eles estabelecem que, para um número suficientemente grande de retas $m$, a dimensão do espaço de módulos das classes de isomorfismo de $C_\Gamma$ é $m(d-1) - d^2 + 1$ (Corolário 3.3).
   • Eles analisam famílias de variedades de dimensão $\delta$ (onde $\delta < d$) e mostram que os cones tangentes que ocorrem nessas famílias variam em famílias de dimensão limitada.
   • Através da contagem de dimensões, demonstram que, se $m$ for grande o suficiente, um arranjo $C_\Gamma$ "muito geral" não pode admitir um mergulho fechado preservando o vértice no cone tangente de qualquer ponto em uma variedade de dimensão $\delta < d$ (Teorema 3.6).
3. Construção de Curvas Singulares: Para aplicar essa obstrução local a curvas reais, os autores constroem uma curva reduzida e irredutível $C \subset \mathbb{P}^d$ com um único ponto singular $p$ tal que o cone tangente completado $TC_p C$ contém um arranjo $C_\Gamma$ prescrito (Proposição 4.1). Isso é alcançado através de uma sequência de blow-ups e aplicações do Teorema de Bertini.
4. Distinção entre Variedades Toric Normais e Não Normais: Os autores distinguem entre variedades toric normais e não normais. Eles mostram que, enquanto variedades toric normais possuem apenas enumeravelmente muitas classes de isomorfismo de cones tangentes (permitindo que a contagem de dimensão exclua mergulhos), variedades toric não normais podem ser construídas para conter qualquer arranjo de retas específico (Teorema 3.11).

Principais Resultados

• Teorema Principal (Teorema 1.2 & Teorema 4.2): Para cada inteiro $d \geq 2$, existe uma curva projetiva reduzida e irredutível $C_d \subset \mathbb{P}^d$ que não se mergulha em nenhuma variedade toric projetiva normal de dimensão menor que $d$.
  • Este resultado é generalizado para mostrar que, para qualquer coleção enumerável de famílias de variedades com dimensões estritamente menores que $d$ e dimensões de base limitadas, existe uma curva que não se mergulha em nenhuma delas.
• Corolário sobre Espaços Projetivos Ponderados: Como espaços projetivos ponderados são variedades toric normais, o teorema principal implica que, para todo $d \geq 2$, existe uma curva em $\mathbb{P}^d$ que não se mergulha em nenhum espaço projetivo ponderado de dimensão menor que $d$. Isso fornece uma resposta negativa à Questão 1.1 para $d=4$.
• Obstrução Local vs. Global: O artigo esclarece que a obstrução é sensível à hipótese de "normalidade".
  • Caso Normal: A obstrução local (dimensão do cone tangente) é suficiente para impedir o mergulho em variedades toric normais de dimensão inferior.
  • Caso Não Normal: Todo arranjo de retas concorrentes $C_\Gamma$ admite um mergulho em uma variedade toric tridimensional não normal (Teorema 3.11).
  • Projeções Lineares: Todo $C_\Gamma$ pode ser mergulhado em uma projeção linear de um plano projetivo ponderado $\mathbb{P}(1, 1, n)$ para um $n$ grande, embora essas projeções sejam geralmente não toric (Teorema 3.9).
• Obstruções Globais para Curvas Suaves: Os autores observam que, mesmo para curvas suaves, existem obstruções globais. Por exemplo, curvas suaves gerais de gênero $g > 10$ não se mergulham em cones sobre curvas racionais suaves (Observação 4.3), nem em nenhuma superfície de Hirzebruch.

Significância e Escopo

O artigo estabelece que a classe das variedades toric projetivas normais (e espaços projetivos ponderados) não é "universal" para o mergulho de curvas projetivas, mesmo permitindo espaços ambientes singulares de dimensão inferior. Os autores demonstram que a geometria local do cone tangente em um ponto singular impõe restrições estritas à dimensão da variedade ambiente, caso a variedade seja exigida como normal e toric.

O trabalho destaca uma diferença fundamental entre variedades toric normais e não normais em relação às capacidades de mergulho. Enquanto as variedades toric normais são rígidas o suficiente para serem obstruídas pela contagem de dimensões dos cones tangentes, as variedades toric não normais são flexíveis o suficiente para acomodar qualquer arranjo finito de retas concorrentes.

O artigo conclui propondo questões abertas relativas à classificação de curvas que de fato admitem mergulhos em variedades toric triidimensionais normais e à extensão desses problemas de mergulho para variedades suaves de dimensão superior, observando que a situação para superfícies é significativamente mais sutil do que para curvas.