Obstructions to embedding singular curves in toric varieties

Resumen Técnico: Obstrucciones para el Embebimiento de Curvas Singulares en Variedades Toricas

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de embeber curvas proyectivas en variedades tóricas. Si bien toda curva proyectiva suave se embebe en $\mathbb{P}^3$, las curvas singulares enfrentan obstrucciones locales: si un punto singular $p$ tiene un espacio tangente de Zariski de dimensión $d$, la curva no puede embeberse en ninguna variedad proyectiva suave de dimensión estrictamente menor que $d$. Una estrategia natural para eludir esto es embeber la curva en una variedad ambiente singular, como un espacio proyectivo ponderado o una variedad tórica general, donde el espacio tangente en un punto singular puede ser suficientemente grande.

La cuestión central planteada es si toda curva proyectiva puede embeberse en un tríptico proyectivo ponderado (Pregunta 1.1). Los autores investigan si existen curvas reducidas e irreducibles que se embeben en $\mathbb{P}^d$ pero que no logran embeberse en ninguna variedad tórica normal proyectiva de dimensión menor que $d$.

Metodología
Los autores emplean una estrategia de lo local a lo global, centráตนse en la geometría de los conos tangentes en los puntos singulares.

1. Obstrucción Local vía Arreglos de Rectas: El núcleo del argumento involucra el análisis de "arreglos de rectas concurrentes" $C_\Gamma$, definidos como el cono sobre un conjunto de $m$ puntos $\Gamma$ en un hiperplano $H \subset \mathbb{P}^d$ con vértice $p$. El cono tangente proyectivizado en el vértice es isomorfo a la configuración $\Gamma$.
2. Conteo de Dimensiones y Espacios de Móduli: Los autores comparan la dimensión del espacio de módulos de tales arreglos de rectas contra la dimensión de las familias de conos tangentes disponibles en las variedades objetivo.
   • Establecen que para un número suficientemente grande de rectas $m$, la dimensión del espacio de módulos de las clases de isomorfismo de $C_\Gamma$ es $m(d-1) - d^2 + 1$ (Corolario 3.3).
   • Analizan familias de variedades de dimensión $\delta$ (donde $\delta < d$) y muestran que los conos tangentes que ocurren en estas familias varían en familias de dimensión acotada.
   • Mediante el conteo de dimensiones, demuestran que si $m$ es lo suficientemente grande, un arreglo $C_\Gamma$ "muy general" no puede admitir una inmersión cerrada preservadora del vértice en el cono tangente de cualquier punto en una variedad de dimensión $\delta < d$ (Teorema 3.6).
3. Construcción de Curvas Singulares: Para aplicar esta obstrucción local a curvas reales, los autores construyen una curva reducida e irreducible $C \subset \mathbb{P}^d$ con un único punto singular $p$ tal que el cono tangente completado $TC_p C$ contiene un arreglo $C_\Gamma$ prescrito (Proposición 4.1). Esto se logra mediante una secuencia de soplos (blow-ups) y aplicaciones del Teorema de Bertini.
4. Distinción entre Variedades Tóricas Normales y No Normales: Los autores distinguen entre variedades tóricas normales y no normales. Muestran que, mientras las variedades tóricas normales tienen solo contablemente muchas clases de isomorfismo de conos tangentes (permitiendo que el conteo de dimensiones descarte embebimientos), las variedades tóricas no normales pueden construirse para contener cualquier arreglo de rectas específico (Teorema 3.11).

Resultados Clave

• Teorema Principal (Teorema 1.2 y Teorema 4.2): Para cada entero $d \geq 2$, existe una curva proyectiva reducida e irreducible $C_d \subset \mathbb{P}^d$ que no se embebe en ninguna variedad tórica normal proyectiva de dimensión menor que $d$.
  • Este resultado se generaliza para mostrar que para cualquier colección contable de familias de variedades con dimensiones estrictamente menores que $d$ y dimensiones de base acotadas, existe una curva que no se embebe en ninguna de ellas.
• Corolario sobre Espacios Proyectivos Ponderados: Dado que los espacios proyectivos ponderados son variedades tóricas normales, el teorema principal implica que para cada $d \geq 2$, existe una curva en $\mathbb{P}^d$ que no se embebe en ningún espacio proyectivo ponderado de dimensión menor que $d$. Esto proporciona una respuesta negativa a la Pregunta 1.1 para $d=4$.
• Obstrucción Local vs. Global: El artículo aclara que la obstrucción es sensible a la hipótesis de "normalidad".
  • Caso Normal: La obstrucción local (dimensión del cono tangente) es suficiente para prevenir el embebimiento en variedades tóricas normales de menor dimensión.
  • Caso No Normal: Todo arreglo de rectas concurrentes $C_\Gamma$ admite un embebimiento en un tríptico tórico no normal (Teorema 3.11).
  • Proyecciones Lineales: Cada $C_\Gamma$ puede embeberse en una proyección lineal de un plano proyectivo ponderado $\mathbb{P}(1, 1, n)$ para un $n$ grande, aunque estas proyecciones son generalmente no tóricas (Teorema 3.9).
• Obstrucciones Globales para Curvas Suaves: Los autores señalan que incluso para curvas suaves, existen obstrucciones globales. Por ejemplo, curvas suaves generales de género $g > 10$ no se embeben en conos sobre curvas racionales suaves (Observación 4.3), ni en ninguna superficie de Hirzebruch.

Significancia y Alcance
El artículo establece que la clase de variedades tóricas normales proyectivas (y los espacios proyectivos ponderados) no es "universal" para el embebimiento de curvas proyectivas, incluso permitiendo espacios ambientes singulares de menor dimensión. Los autores demuestran que la geometría local del cono tangente en un punto singular impone restricciones estrictas a la dimensión de la variedad ambiente si se requiere que la variedad sea normal y tórica.

El trabajo resalta una diferencia fundamental entre las variedades tóricas normales y las no normales respecto a las capacidades de embebimiento. Mientras que las variedades tóricas normales son lo suficientemente rígidas como para ser obstruidas por el conteo de dimensiones de los conos tangentes, las variedades tóricas no normales son lo suficientemente flexibles como para acomodar cualquier arreglo finito de rectas concurrentes.

El artículo concluye planteando preguntas abiertas respecto a la clasificación de curvas que sí admiten embebimientos en trípticos tóricos normales y la extensión de estos problemas de embebimiento a variedades suaves de mayor dimensión, señalando que la situación para las superficies es significativamente más sutil que para las curvas.