Obstructions to embedding singular curves in toric varieties

Sintesi Tecnica: Ostacoli all'immersione di curve singolari in varietà toriche

Enunciato del Problema
Il saggio affronta il problema dell'immersione di curve proiettive in varietà toriche. Sebbene ogni curva proiettiva regolare possa essere immersa in $\mathbb{P}^3$, le curve singolari presentano ostacoli locali: se un punto singolare $p$ ha uno spazio tangente di Zariski di dimensione $d$, la curva non può essere immersa in alcuna varietà proiettiva regolare di dimensione strettamente inferiore a $d$. Una strategia naturale per aggirare ciò è immergere la curva in una varietà ambiente singolare, come uno spazio proiettivo pesato o una varietà torica generale, dove lo spazio tangente in un punto singolare può essere sufficientemente grande.

La questione centrale posta è se ogni curva proiettiva possa essere immersa in un tridimensionale spazio proiettivo pesato (Domanda 1.1). Gli autori indagano se esistano curve ridotte e irriducibili che si immergono in $\mathbb{P}^d$ ma non riescono a immergersi in alcuna varietà torica normale proiettiva di dimensione inferiore a $d$.

Metodologia
Gli autori utilizzano una strategia locale-globale, concentrandosi sulla geometria dei coni tangenti nei punti singolari.

1. Ostacolo Locale tramite Disposizioni di Rette: Il nucleo dell'argomento riguarda le "disposizioni di rette concorrenti" $C_\Gamma$, definite come il cono su un insieme di $m$ punti $\Gamma$ in un iperpiano $H \subset \mathbb{P}^d$ con vertice $p$. Il cono tangente proiettivo al vertice è isomorfo alla configurazione $\Gamma$.
2. Conteggio delle Dimensioni e Spazi Moduli: Gli autori confrontano la dimensione dello spazio moduli delle disposizioni di rette con la dimensione delle famiglie di coni tangenti disponibili nelle varietà target.
   • Stabiliscono che per un numero sufficientemente grande di rette $m$, lo spazio moduli delle classi di isomorfismo di $C_\Gamma$ ha dimensione $m(d-1) - d^2 + 1$ (Corollario 3.3).
   • Analizzano famiglie di varietà $\delta$-dimensionali (dove $\delta < d$) e dimostrano che i coni tangenti che occorrono in tali famiglie variano in famiglie di dimensione limitata.
   • Attraverso il conteggio delle dimensioni, dimostrano che se $m$ è abbastanza grande, una disposizione $C_\Gamma$ "molto generale" non può ammettere un'immersione chiusa preservante il vertice nel cono tangente di alcuna varietà di dimensione $\delta < d$ (Teorema 3.6).
3. Costruzione di Curve Singolari: Per applicare questo ostacolo locale ad effettive curve, gli autori costruiscono una curva ridotta e irriducibile $C \subset \mathbb{P}^d$ con un unico punto singolare $p$ tale che il cono tangente completato $TC_p C$ contenga una data disposizione $C_\Gamma$ (Proposizione 4.1). Ciò viene ottenuto tramite una sequenza di blow-up e applicazioni del Teorema di Bertini.
4. Distinzione tra Varietà Toriche Normali e Non Normali: Gli autori distinguono tra varietà toriche normali e non normali. Mostrano che, mentre le varietà toriche normali hanno solo un numero numerabile di classi di isomorfismo di coni tangenti (permettendo al conteggio delle dimensioni di escludere le immersioni), le varietà toriche non normali possono essere costruite per contenere qualsiasi disposizione di rette specifica (Teorema 3.11).

Risultati Chiave

• Teorema Principale (Teorema 1.2 e Teorema 4.2): Per ogni intero $d \geq 2$, esiste una curva proiettiva ridotta e irriducibile $C_d \subset \mathbb{P}^d$ che non si immerge in alcuna varietà torica normale proiettiva di dimensione inferiore a $d$.
  • Questo risultato è generalizzato per mostrare che, per ogni collezione numerabile di famiglie di varietà con dimensioni strettamente inferiori a $d$ e dimensioni di base limitate, esiste una curva che non si immerge in nessuna di esse.
• Corollario sugli Spazi Proiettivi Pesati: Poiché gli spazi proiettivi pesati sono varietà toriche normali, il teorema principale implica che per ogni $d \geq 2$, esiste una curva in $\mathbb{P}^d$ che non si immerge in alcuno spazio proiettivo pesato di dimensione inferiore a $d$. Ciò fornisce una risposta negativa alla Domanda 1.1 per $d=4$.
• Ostacoli Locali vs. Globali: Il saggio chiarisce che l'ostacolo è sensibile all'ipotesi di "normalità".
  • Caso Normale: L'ostacolo locale (dimensione del cono tangente) è sufficiente per impedire l'immersione in varietà toriche normali di dimensione inferiore.
  • Caso Non Normale: Ogni disposizione di rette concorrenti $C_\Gamma$ ammette un'immersione in una varietà torica proiettiva tridimensionale non normale (Teorema 3.11).
  • Proiezioni Lineari: Ogni $C_\Gamma$ può essere immersa in una proiezione lineare di un piano proiettivo pesato $\mathbb{P}(1, 1, n)$ per un $n$ grande, sebbene tali proiezioni siano generalmente non toriche (Teorema 3.9).
• Ostacoli Globali per Curve Regolari: Gli autori notano che anche per le curve regolari esistono ostacoli globali. Ad esempio, curve regolhe generali di genere $g > 10$ non si immergono in coni su curve razionali regolari (Osservazione 4.3), né in alcuna superficie di Hirzebruch.

Significato e Ambito
Il saggio stabilisce che la classe delle varietà toriche normali proiettive (e degli spazi proiettivi pesati) non è "universale" per l'immersione di curve proiettive, anche permettendo spazi ambiente singolari di dimensione inferiore. Gli autori dimostrano che la geometria locale del cono tangente in un punto singolare impone vincoli stretti sulla dimensione della varietà ambiente se la varietà deve essere normale e torica.

Il lavoro evidenzia una differenza fondamentale tra varietà toriche normali e non normali riguardo alle capacità di immersione. Mentre le varietà toriche normali sono abbastanza rigide da essere ostacolate dal conteggio delle dimensioni dei coni tangenti, le varietà toriche non normali sono abbastanza flessibili da accomodare qualsiasi disposizione finita di rette concorrenti.

Il saggio conclude ponendo domande aperte riguardanti la classificazione delle curve che ammettono immersioni in varietà toriche normali tridimensionali e l'estensione di questi problemi di immersione a varietà lisce di dimensione superiore, notando che la situazione per le superfici è significativamente più sottile rispetto a quella per le curve.