Obstructions to embedding singular curves in toric varieties

Technische Samenvatting: Belemmeringen voor het Inbedden van Singuliere Curven in Tore vanische Variëteiten

Probleemstelling
Het artikel behandelt de kwestie van het inbedden van projectieve curven in tore vanische variëteiten. Terwijl elke gladde projectieve curve inbeddelbaar is in $\mathbb{P}^3$, kampen singuliere curven met lokale obstructies: als een singulier punt $p$ een dimensie heeft van de Zariski-tangentruimte gelijk aan $d$, kan de curve niet inbedden in enige gladde projectieve variëteit met een dimensie strikt kleiner dan $d$. Een natuurlijke strategie om dit te omzeilen is het inbedden van de curve in een singuliere omgevingvariëteit, zoals een gewogen projectieve ruimte of een algemene tore vanische variëteit, waar de tangentruimte bij een singulier punt voldoende groot kan zijn.

De centrale vraag die wordt gesteld, is of elke projectieve curve kan worden ingebed in een gewone projectieve driedimensionale ruimte (Vraag 1.1). De auteurs onderzoeken of er gereduceerde, irreducibele curven bestaan die wel in $\mathbb{P}^d$ inbedbaar zijn, maar falen in hun inbedding in elke projectieve normale tore vanische variëteit van dimensie minder dan $d$.

Methodologie
De auteurs hanteren een lokaal-naar-globaal algoritme, waarbij zij zich concentreren op de geometrie van de tangentkegels bij singuliere punten.

1. Lokale Obstructie via Lijnarrangementen: De kern van het argument betreft het analyseren van "gelijktijdige lijnarrangementen" $C_\Gamma$, gedefinieerd als de kegel over een verzameling van $m$ punten $\Gamma$ in een hypervlak $H \subset \mathbb{P}^d$ met hoekpunt $p$. Het geprojectiveerde tangentkegelvorm bij het hoekpunt is isomorf met de configuratie $\Gamma$.
2. Dimensietelling en Moduliruummen: De auteurs vergelijken de dimensie van de modulieruimte van dergelijke lijnarrangementen met de dimensie van families van tangentkegels die beschikbaar zijn in doelvariëteiten.
   • Zij stellen vast dat voor een voldoende groot aantal lijnen $m$, de dimensie van de modulieruimtes van isomorfieklassen van $C_\Gamma$ gelijk is aan $m(d-1) - d^2 + 1$ (Corollary 3.3).
   • Zij analyseren families van $\delta$-dimensionale variëteiten (waarbij $\delta < d$) en tonen aan dat de tangentkegels die in deze families voorkomen, variëren binnen families met een begrensde dimensie.
   • Door middel van dimensietellingen demonstreren zij dat indien $m$ groot genoeg is, een "zeer algemeen" arrangement $C_\Gamma$ geen gesloten immersie behoudend naar het hoekpunt kan toestaan in de tangentkegel van enig punt in een variëteit van dimensie $\delta < d$ (Theorem 3.6).
3. Constructie van Singuliere Curven: Om deze lokale obstructie toe te passen op werkelijke curven, construeren de auteurs een gereduceerde, irreducibele curve $C \subset \mathbb{P}^d$ met één uniek singulier punt $p$ zodanig dat de voltooide tangentkegel $TC_p C$ een voorgeschreven arrangement $C_\Gamma$ bevat (Proposition 4.1). Dit wordt bereikt via een sequentie van blow-ups en toepassingen van de Stelling van Bertini.
4. Onderscheid tussen Normale en Niet-normale Tore Vanische Variëteiten: De auteurs maken onderscheid tussen normale en niet-normale tore vanische variëteiten. Zij tonen aan dat terwijl normale tore vanische variëteiten slechts aftelbare isomorfieklassen van tangentkegels hebben (waardoor de dimensietelling de inbedding uitsluit), niet-normale tore vanische variëteiten geconstrueerd kunnen worden om elk specifiek lijnarrangement te bevatten (Theorem 3.11).

Belangrijkste Resultaten

• Hoofdstelling (Theorem 1.2 & Theorem 4.2): Voor elke geheel getal $d \geq 2$, bestaat er een gereduceerde, irreducibele projectieve curve $C_d \subset \mathbb{P}^d$ die niet inbedbaar is in een enkele projectieve normale tore vanische variëteit van dimensie minder dan $d$.
  • Dit resultaat wordt gegeneraliseerd door aan te tonen dat voor elke aftelbare collectie van families van variëteiten met dimensies strikt kleiner dan $d$ en begrensde basisdimensies, er een curve bestaat die in geen enkele van hen inbedbaar is.
• Corollary over Gewogen Projectieve Ruimtes: Omdat gewogen projectieve ruimtes normale tore vanische variëteiten zijn, impliceert de hoofdstelling dat er voor elk $d \geq 2$ een curve in $\mathbb{P}^d$ bestaat die niet inbedbaar is in een gewogen projectieve ruimte van dimensie minder dan $d$. Dit geeft een negatief antwoord op Vraag 1.1 voor $d=4$.
• Lokaal versus Globaal: Obstructies: Het artikel verduidelijkt dat de obstructie gevoelig is voor de "normaal"-hypothese.
  • Normaal Geval: De lokale obstructie (dimensie van de tangentkegel) is voldoende om inbedding in lagere dimensie horende normale tore vanische variëteiten te voorkomen.
  • Niet-normaal Geval: Elk gelijktijdig lijnarrangement $C_\Gamma$ staat een inbedding toe in een niet-normale projectieve tore vanische driedimensionale variëteit (Theorem 3.11).
  • Lineaire Projecties: Elke $C_\Gamma$ kan inbedden in een lineaire projectie van een gewogen projectieve vlak $\mathbb{P}(1, 1, n)$ voor grote $n$, al zijn deze projecties over het algemeen niet tore vanisch (Theorem 3.9).
• Globale Obstructies voor Gladde Curves: De auteurs merken op dat zelfs voor gladde curven globale obstructies aanwezig zijn. Bijvoorbeeld, algemene gladde curven van genus $g > 10$ bedden niet in kegels over gladde rationale curven (Remark 4.3), noch in enige Hirzebruch-oppervlakte.

Betekenis en Reikwijdte
Dit papier stelt vast dat de klasse van projectieve normale tore vanische variëteiten (en gewogen projectieve ruimtes) niet "universeel" is voor het inbedden van projectieve curven. De auteurs bewijzen dat de lokale geometrie van de tangentkegel bij een singulier punt strikte beperkingen oplegt aan de dimensie van de omgevingvariëteit wanneer men vereist dat de variëteit normaal en tore vanisch is.

Het werk benadrukt een fundamenteel verschil tussen normale en niet-normale tore vanische variëteiten wat betreft inbeddingsmogelijkheden. Waar normale tore vanische variëteiten rigide genoeg zijn om geobstrueerd te worden door dimensietellingen van tangentkegels, zijn niet-normale tore vanische variëteiten flexibel genoeg om elk eindig arrangement van gelijktijdige lijnen te accommoderen.

Het artikel concludeert door open vragen te stellen betreffende de classificatie van curven die wél inbedbaar zijn in normale tore vanische driedimensionale variëteiten, en de uitbreiding van deze inbeddingsproblematiek naar hogere-dimensionale gladde variëteiten, waarbij wordt opgemerkt dat de situatie voor oppervlakken aanzienlijk subtieler is dan voor curven.