Obstructions to embedding singular curves in toric varieties

技术摘要：奇异曲线嵌入纯化托里（Toric）簇的障碍

问题陈述
本文探讨了将射影曲线嵌入纯化托里簇的问题。虽然每条光滑射影曲线都能嵌入到 $\mathbb{P}^3$ 中，但奇异曲线面临局部障碍：如果一个奇异点 $p$ 的扎里斯基切空间（Zariski tangent space）维度为 $d$，则该曲线无法嵌入到任何维度严格小于 $d$ 的光滑射影簇中。一种自然的规避策略是将曲线嵌入到一个奇异的环量簇中，例如加权射影空间或一般的纯化托里簇，因为在这些簇的奇异点处，切空间的维度可能足够大。

核心问题在于，是否每条射影曲线都能嵌入到某个加权射影三维簇中（问题 1.1）。作者研究是否存在某些还原且不可约的曲线，它们虽然可以嵌入在 $\mathbb{P}^d$ 中，但无法嵌入到任何维度小于 $d$ 的射影正规纯化托里簇中。

方法论
作者采用了一种从局部到全局的策略，重点关注奇异点的切锥（tangent cones）几何。

1. 通过直线排列产生的局部障碍： 论证的核心涉及分析“并发直线排列” $C_\Gamma$，其定义为过 $\mathbb{P}^d$ 中 $m$ 个点 $\Gamma$ 的超平面 $H$ 的锥。该顶点处的射影化切锥与配置 $\Gamma$ 同构。
2. 维度计数与模空间： 作者比较了此类直线排列的模空间维度与目标簇中可用切锥族的维度。
   • 他们确定了对于足够大的直线数 $m$，配置 $C_\Gamma$ 的同构类模空间的维度为 $m(d-1) - d^2 + 1$（推论 3.3）。
   • 他们分析了 $\delta$ 维簇的族（其中 $\delta < d$），并证明这些族中的切锥是以有界维度的族进行变化的。
   • 通过维度计数，他们证明了如果 $m$ 足够大，一个“非常一般”的排列 $C_\Gamma$ 不能通过保持顶点的闭浸入方式进入任何维度为 $\delta < d$ 的簇的切锥中（定理 3.6）。
3. 奇异曲线的构造： 为了将这种局部障碍应用于实际的曲线，作者构造了一条包含在 $\mathbb{P}^d$ 中的还原且不可约曲线 $C$，其具有唯一的奇异点 $p$，使得完成切锥 $TC_p C$ 包含一个预设的排列 $C_\Gamma$（命题 4.1）。这是通过一系列吹胀（blow-ups）和对 Bertini 定理的应用实现的。
4. 正规与非正规纯化托里簇的区别： 作者区分了正规纯化托里簇与非正规纯化托里簇。他们表明，由于正规纯化托里簇仅有可数个切锥同构类（这使得维度计数能够排除嵌入的可能性），而非正规纯化托里簇则可以被构造为包含任何特定的直线排列（定理 3.11）。

关键结果

• 主要定理（定理 1.2 与定理 4.2）： 对于每个整数 $d \geq 2$，都存在一条还原且不可约的射影曲线 $C_d \subset \mathbb{P}^d$，它不能嵌入到任何维度小于 $d$ 的射影正规纯化托里簇中。
  • 该结果进行了推广，证明对于任何维度严格小于 $d$ 且基维度有界的簇的可数集合，都存在一条曲线，它无法嵌入到其中的任何一个簇中。
• 关于加权射影空间的推论： 由于加权射影空间是正规纯化托里簇，主定理意味着对于每个 $d \geq 2$，都存在一条在 $\mathbb{P}^d$ 中的曲线，它不能嵌入到任何维度小于 $d$ 的加权射影空间中。这为 $d=4$ 时的问题 1.1 提供了负面回答。
• 局部与全局障碍： 本文阐明了障碍对于“正规”假设的敏感性。
  • 正规情况： 局部障碍（切锥维度）足以防止嵌入到低维的正规纯化托里簇中。
  • 非正规情况： 每一个并发直线排列 $C_\Gamma$ 都可以嵌入到一个非正规射影纯化托里三维簇中（定理 3.11）。
  • 线性投影： 每个 $C_\Gamma$ 都可以嵌入到较大的 $n$ 下的加权射影平面 $\mathbb{P}(1, 1, n)$ 的线性投影中，尽管这些投影通常不是纯化的（定理 3.9）。
• 光滑曲线的全局障碍： 作者指出，即使对于光滑曲线，也存在全局障碍。例如，亏格 $g > 10$ 的一般光滑曲线不能嵌入到光滑有理曲线的锥上（备注 4.3），也不能嵌入到任何 Hirzebruch 曲面中。

意义与范围
本文确立了射影正规纯化托里簇（以及加权射影空间）对于嵌入射影曲线而言并非是“普适”的，即使允许使用维数较低的奇异环量簇。作者证明，如果要求环量簇是正规且纯化的，那么奇异点处的切锥局部几何会对环量簇的维度施加严格限制。

这项工作强调了正规与非正规纯化托里簇在嵌入能力方面的根本区别。正规纯化托里簇因其结构的刚性，会被切锥的维度计数所阻碍；而非正规纯化托里簇则具有足够的灵活性，可以容纳任何有限的并发直线排列。

论文最后提出了开放性问题，包括对确实能嵌入到正规纯化托里三维簇中的曲线进行分类，以及将这些嵌入问题扩展到更高维度的光滑簇，并指出对于曲面的情况比对于曲线的情况要复杂得多。