Configurations, Tessellations and Tone Networks

Resumen Técnico: Configuraciones, Teselaciones y Redes Tónicas

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la representación matemática del tonnetz, una red de relaciones entre las doce notas de la escala cromática tradicionalmente visualizada como una teselación del plano euclidiano mediante triángulos equiláteros o hexágonos regulares. Aunque el tonnetz está bien establecido en la teoría musical como un grafo que representa la armonía triádica (específicamente las relaciones entre tríadas mayores y menores mediante las transformaciones P, R y L), los autores buscan profundizar en su fundamento matemático. El problema central consiste en determinar si el tonnetz puede realizarse rigurosamente no meramente como un grafo o una teselación, sino como una configuración geométrica específica de puntos y líneas en $\mathbb{R}^2$. Además, los autores investigan si este marco geométrico puede extenderse a los tetracordios (específicamente el "género Tristan" de séptimas de dominante y sextas menores) para proporcionar una base unificada para analizar progresiones armónicas complejas en las obras de Wagner, Chopin y Tchaikovsky.

Metodología
Los autores emplean una síntesis de teoría de grafos, geometría combinatoria y teoría musical.

1. Modelado Teórico de Grafos: Primero modelan el tonnetz como un grafo bipartito finito, regular, de grado tres y girth seis. En este modelo, los vértices blancos representan tríadas mayores y los vértices negros representan tríadas menores. Este grafo se identifica como el grafo de Levi de una configuración combinatoria.
2. Realización Geométrica: Los autores mapean este grafo de Levi a una geometría de incidencia que consta de 12 puntos y 12 líneas en $\mathbb{R}^2$. Utilizan la clasificación de configuraciones combinatorias de tipo $\{12_3\}$ (12 puntos, 12 líneas, 3 puntos por línea, 3 líneas por punto) establecida por Daublebsky von Sterneck.
3. Identificación de la Configuración: Mediante el análisis de la estructura de ciclos (específicamente el número y tipo de hexaciclos, octaciclos, etc.) del grafo de Levi del tonnetz, identifican la configuración geométrica específica que corresponde al tonnetz.
4. Extensión a Tetracordios: La metodología se extiende a los tetracordios mediante la restricción de las reglas de transformación entre acordes de sexta menor y acordes de séptima de dominante. Específicamente, restringen las transiciones a aquellas donde exactamente dos tonos cambian mientras se preserva el tono "disonante". Esta restricción está diseñada para eliminar tetra-ciclos (ciclos de longitud cuatro) y asegurar que el grafo resultante tenga un girth de al menos seis, permitiendo que sea un grafo de Levi.
5. Análisis Musical: Los modelos geométricos resultantes se aplican a fragmentos musicales específicos de Tristan und Isolde, Götterdämmerung y Parsifal de Wagner, así como a obras de Chopin y Tchaikovsky, para analizar resoluciones de acordes y trayectorias de conducción de voces.

Contribuciones y Resultados Clave

1. Identificación Geométrica del Tonnetz Euleriano: El artículo demuestra que el tonnetz euleriano estándar (basado en tríadas) es isomorfo al grafo de Levi de la configuración autodual $\{12_3\}$ de tipo $D_{222}$ de Daublebsky von Sterneck. En esta realización, las tríadas mayores corresponden a puntos y las tríadas menores a líneas en $\mathbb{R}^2$, con las relaciones de incidencia definiendo la adyacencia de los acordes.
2. Descubrimiento del Tonnetz del Género Tristan: Al aplicar la restricción de "preservación de la disonancia" a los tetracordios, los autores construyen un nuevo grafo de Levi para las 12 séptimas de dominante y las 12 sextas menores. Identifican este grafo como el grafo de Levi de una configuración autodual diferente $\{12_3\}$, específicamente del tipo $D_{228}$. Esta configuración es distinta del tonnetz euleriano, evidenciado por un conteo diferente de hexaciclos (24 en el género Tristan frente a 16 en el euleriano).
3. Teselaciones Arquimedianas: El artículo introduce "tonnetze arquimedianos" derivados de grafos bipartitos donde dos tonos cambian entre tríadas. Estos grafos, aunque no son grafos de Levi debido a la presencia de tetra-ciclos, se despliegan para generar teselaciones semirregulares del plano que involucran dodecágonos, hexágonos y cuadrados (tipo $\{4, 6, 12\}$).
4. Aplicaciones Analíticas:
   • Resoluciones del Acorde Tristan: Los modelos geométricos aclaran la resolución del acorde Tristan. Por ejemplo, la resolución del acorde a $B\flat_7$ por parte de Chopin se muestra siguiendo una trayectoria de "corbata floja" (un decaciclo 2p) hacia una posición polar en el tonnetz euleriano, mientras que la resolución de Wagner a $E_7$ sigue una trayectoria de hexaciclo 3p.
   • Octaciclos Wagnerianos: La configuración $D_{228}$ revela que los tres cuadrados mutuamente inscritos en la figura geométrica corresponden a tres octaciclos 4p en el grafo de Levi. Estos octaciclos se muestran como la base de progresiones específicas en Tristan und Isolde (por ejemplo, el dueto de la Liebesnacht) y en Götterdämmerung (la escena de la pira funeraria), proporcionando una explicación geométrica para las relaciones "polares" y las trayectorias de resolución de estos acordes.
   • Ciclos Hamiltonianos: El artículo señala que el perímetro del grafo de Levi forma un ciclo hamiltoniano que abarca las 24 tríadas, ofreciendo una prefiguración geométrica del concepto de serie dodecafónica y de progresiones específicas encontradas en la Novena Sinfonía de Beethoven.

Significado y Afirmaciones
Los autores afirman que su trabajo establece un "papel unificador de los grafos de Levi y las configuraciones en la teoría de la música". Argumentan que el tonnetz no es meramente una herramienta heurística, sino un objeto matemático específico: una configuración combinatoria que admite tres representaciones simultáneas:

1. Como configuración combinatoria (estructura de incidencia).
2. Como configuración geométrica (puntos y líneas en el espacio euclidiano).
3. Como configuración "musical" (la red de relaciones audibles).

El significado radica en la capacidad de estos modelos geométricos para visualizar el espacio de acordes de manera inequívoca y para servir como un "mapa de ruta" para analizar progresiones armónicas complejas, particularmente aquellas que involucran tetracordios en la música romántica tardía. El artículo postula que compositores como Wagner podrían haber operado dentro de múltiples sistemas armónicos simultáneamente (triádico clásico, pan-triádico y tetrádico), y que las configuraciones geométricas proporcionan un marco riguroso para analizar estos sistemas. Los autores concluyen que tales configuraciones pueden servir como base tanto para el análisis como para la composición musical, sugiriendo trabajos futuros sobre tonnetze pentatónicos y dodecafónicos basados en otras configuraciones (Desargues y Cremona-Richmond).