Configurations, Tessellations and Tone Networks

Technische Zusammenfassung: Konfigurationen, Tessellationen und Tonnetzwerke

Problemstellung
Der Aufsatz behandelt die mathematische Darstellung des Tonnetzes, eines Netzwerks von Beziehungen zwischen den zwölf Tönen der chromatischen Skala, das traditionell als Tessellation der euklidischen Ebene durch gleichseitige Dreiecke oder regelmäßige Sechsecke visualisiert wird. Während das Tonnetz in der Musiktheorie als Graph etabliert ist, der die triadische Harmonie darstellt (insbesondere die Beziehungen zwischen Dur- und Moll-Dreiklängen über die P-, R- und L-Transformationen), streben die Autoren an, seine mathematische Fundierung zu vertiefen. Das zentrale Problem besteht darin, zu bestimmen, ob das Tonnetz nicht lediglich als Graph oder Tessellation, sondern als spezifische geometrische Konfiguration von Punkten und Linien in $\mathbb{R}^2$ rigoros realisiert werden kann. Ferner untersuchen die Autoren, ob dieser geometrische Rahmen auf Tetrachorde (insbesondere das „Tristan-Genus" der Dominantseptakkorde und Mollsextakkorde) erweitert werden kann, um eine einheitliche Basis für die Analyse komplexer harmonischer Fortschreitungen in den Werken von Wagner, Chopin und Tschaikowski zu bieten.

Methodik
Die Autoren wenden eine Synthese aus Graphentheorie, kombinatorischer Geometrie und Musiktheorie an.

1. Graphentheoretische Modellierung: Sie modellieren das Tonnetz zunächst als endlichen, regulären bipartiten Graphen vom Grad drei und mit einem Taillenmaß (Girth) von sechs. In diesem Modell repräsentieren weiße Knoten Dur-Dreiklänge und schwarze Knoten Moll-Dreiklänge. Dieser Graph wird als Levi-Graph einer kombinatorischen Konfiguration identifiziert.
2. Geometrische Realisierung: Die Autoren bilden diesen Levi-Graphen auf eine Inzidenzgeometrie ab, die aus 12 Punkten und 12 Linien in $\mathbb{R}^2$ besteht. Sie nutzen die Klassifikation kombinatorischer Konfigurationen vom Typ $\{12_3\}$ (12 Punkte, 12 Linien, 3 Punkte pro Linie, 3 Linien pro Punkt), die von Daublebsky von Sterneck etabliert wurde.
3. Identifikation der Konfiguration: Durch Analyse der Zyklusstruktur (insbesondere der Anzahl und Art von Hexazyklen, Oktazyklen usw.) des Levi-Graphen des Tonnetzes identifizieren sie die spezifische geometrische Konfiguration, die dem Tonnetz entspricht.
4. Erweiterung auf Tetrachorde: Die Methodik wird auf Tetrachorde erweitert, indem die Transformationsregeln zwischen Mollsextakkorden und Dominantseptakkorden eingeschränkt werden. Spezifisch beschränken sie Übergänge auf solche, bei denen genau zwei Töne wechseln, während der „dissonante" Ton erhalten bleibt. Diese Einschränkung soll Tetrazyklen (Zyklen der Länge vier) eliminieren und sicherstellen, dass der resultierende Graph ein Taillenmaß von mindestens sechs besitzt, was ihn zu einem Levi-Graphen macht.
5. Musikalische Analyse: Die resultierenden geometrischen Modelle werden auf spezifische musikalische Auszüge aus Wagners Tristan und Isolde, Götterdämmerung und Parsifal sowie auf Werke von Chopin und Tschaikowski angewendet, um Akkordauflösungen und Stimmführungspfade zu analysieren.

Hauptbeiträge und Ergebnisse

1. Geometrische Identifikation des Eulerischen Tonnetzes: Der Aufsatz zeigt, dass das Standard-Euler-Tonnetz (basierend auf Dreiklängen) isomorph zum Levi-Graphen der selbst-dualen Konfiguration $\{12_3\}$ vom Daublebsky-von-Sterneck-Typ $D_{222}$ ist. In dieser Realisierung entsprechen Dur-Dreiklänge Punkten und Moll-Dreiklänge Linien in $\mathbb{R}^2$, wobei Inzidenzrelationen die Adjazenz von Akkorden definieren.
2. Entdeckung des Tristan-Genus-Tonnetzes: Durch Anwendung der „Dissonanz-erhaltenden" Einschränkung auf Tetrachorde konstruieren die Autoren einen neuen Levi-Graphen für die 12 Dominantseptakkorde und 12 Mollsextakkorde. Sie identifizieren diesen Graphen als Levi-Graphen einer anderen selbst-dualen Konfiguration $\{12_3\}$, speziell vom Typ $D_{228}$. Diese Konfiguration unterscheidet sich vom Eulerischen Tonnetz, was durch eine unterschiedliche Anzahl von Hexazyklen belegt ist (24 im Tristan-Genus gegenüber 16 im Eulerischen).
3. Archimedische Tessellationen: Der Aufsatz führt „Archimedische Tonnetze" ein, die aus bipartiten Graphen abgeleitet sind, bei denen zwei Töne zwischen Dreiklängen wechseln. Diese Graphen sind zwar aufgrund des Vorhandenseins von Tetrazyklen keine Levi-Graphen, entfalten sich jedoch, um halbreguläre Tessellationen der Ebene zu erzeugen, die Dodekagone, Sechsecke und Quadrate umfassen (Typ $\{4, 6, 12\}$).
4. Analytische Anwendungen:
   • Tristan-Akkord-Auflösungen: Die geometrischen Modelle klären die Auflösung des Tristan-Akkords. Beispielsweise folgt Chopins Auflösung des Akkords zu $B\flat_7$ einer „schlaffen Schleife"-Trajektorie (ein 2p-Dekazyklus) zu einer polaren Position im Eulerischen Tonnetz, während Wagners Auflösung zu $E_7$ einem 3p-Hexazyklus-Pfad folgt.
   • Wagnerische Oktazyklen: Die $D_{228}$-Konfiguration zeigt, dass die drei gegenseitig eingeschriebenen Quadrate in der geometrischen Figur drei 4p-Oktazyklen im Levi-Graphen entsprechen. Diese Oktazyklen bilden spezifische Fortschreitungen in Tristan und Isolde (z. B. das Liebesnacht-Duett) und Götterdämmerung (die Scheiterhaufen-Szene) zugrunde und liefern eine geometrische Erklärung für die „polaren" Beziehungen und Auflösungswege dieser Akkorde.
   • Hamiltonsche Zyklen: Der Aufsatz stellt fest, dass der Umfang des Levi-Graphen einen Hamiltonschen Zyklus bildet, der alle 24 Dreiklänge umfasst, und bietet so eine geometrische Vorwegnahme des Zwölftonreihen-Konzepts sowie spezifischer Fortschreitungen in Beethovens Neunter Sinfonie.

Bedeutung und Behauptungen
Die Autoren behaupten, dass ihre Arbeit eine „vereinheitlichende Rolle von Levi-Graphen und Konfigurationen in der Musiktheorie" etabliert. Sie argumentieren, dass das Tonnetz nicht lediglich ein heuristisches Werkzeug ist, sondern ein spezifisches mathematisches Objekt – eine kombinatorische Konfiguration, die drei simultane Darstellungen zulässt:

1. Als kombinatorische Konfiguration (Inzidenzstruktur).
2. Als geometrische Konfiguration (Punkte und Linien im euklidischen Raum).
3. Als „musikalische" Konfiguration (das Netzwerk hörbarer Beziehungen).

Die Bedeutung liegt in der Fähigkeit dieser geometrischen Modelle, den Akkordraum eindeutig zu visualisieren und als „Landkarte" für die Analyse komplexer harmonischer Fortschreitungen zu dienen, insbesondere solcher, die Tetrachorde in der späten Romantik betreffen. Der Aufsatz postuliert, dass Komponisten wie Wagner möglicherweise gleichzeitig in mehreren harmonischen Systemen operierten (klassisch triadisch, pan-triadisch und tetradisch), und dass die geometrischen Konfigurationen einen rigorosen Rahmen bieten, um diese Systeme zu analysieren. Die Autoren schließen, dass solche Konfigurationen als Basis sowohl für die Analyse als auch für die Komposition von Musik dienen können, und schlagen zukünftige Arbeiten zu pentatonischen und zwölftönigen Tonnetzen auf Basis anderer Konfigurationen (Desargues und Cremona-Richmond) vor.